考点09 三角函数与正、余弦定理综合运用-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点09 三角函数与正、余弦定理综合运用 考向一 实际生活中运用考向分析 【例1】（2020·辽宁高三期中）自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将到修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（，，，在同一水平面内），则，间的距离为______. 【答案】 【解析】如图，连接，在中，由余弦定理得， ，所以， 由正弦定理得，，即，解得， 因为，所以， 在中， ， 所以，即，间的距离为，故答案为： 【举一反三】 1．（2020·湖南师大附中高三月考）既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展.现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道(C与A，B不重合)，A，B相距400米，在紧邻休闲小道的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为______米.(参考数据：，) 【答案】880 【解析】如图所示，设圆心为O，连接，， 因为点C在半圆上，所以，所以， 弧的长为，所以绿化带的总长度为 ，.所以. 令，得，所以. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以当时，取得极大值，也是最大值，所以. 故答案为：880. 2．（2020·江苏常州·高三期中）欧几里得在《几何原本》中，以基本定义､公设和公理作为全书推理的出发点.其中第卷命题47是著名的毕达哥拉斯定理(勾股定理)，书中给出了一种证明思路：如图，中，，四边形､､都是正方形，于点，交于点.先证与全等，继而得到矩形与正方形面积相等；同理可得到矩形与正方形面积相等；进一步定理可得证.在该图中，若，则________. 【答案】 【解析】设AB=k，AC=m，BC=n，可得， 又，可得， 在中，， 又，解得，， 由 ， 化为，解得， 又，可得， 在中，，即， 可得， 故答案为：. 3．（2020·全国高三其他模拟）在测量实践中，某兴趣小组为测量电视塔的高度，在与水平地面平行且距离地面1.4m的一条直线上选取了，，三点．已知，，，在，，三点测出电视塔顶部的仰角分别为45°，60°，60°，则电视塔的高度为______m．（结果精确到0.1m，参考数据：，） 【答案】120.2 【解析】根据题意画出示意图，如图所示， 由题意，直线与不在同一平面内，平面，，，， 过作于，易知，设，，则，． 在中，由余弦定理可得：， 解得， 所以， 故电视塔的高度为． 故答案为： 考向二 三角函数性质与正余弦的定理综合运用 【例2】11．（2020·山西高三期中（文））已知函数. （1）求函数的最小正周期，以及在上的单调性； （2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求A和b. 【答案】（1）最小正周期为，在上单调递增，在上单调递减；（2），或. 【解析】（1）由题意可得， ∴的最小正周期为. 时，，当，即当时函数单调递增， 当，即，即当时，函数单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，又恰是函数在上的最大值， A为锐角，故，∴，由余弦定理可得：. 解得：或. 【举一反三】 1．（2020·山西高三期中（理））已知向量，，设函数． （1）求函数的最小正周期，以及在上的单调性． （2）已知，，分别为三角形的内角对应的三边长，为锐角，，，且恰是函数在上的最大值，求和． 【答案】（1）最小正周期为；在上单调递增，在上单调递减；（2）；或． 【解析】（1）因为向量，， 所以 ， ∴的最小正周期为； 由可得； 由可得； 所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为， 又， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）知， 又恰是函数在上的最大值，为锐角， 故，∴； 由余弦定理可得： 解得：或． 2．（2020·上海黄浦·格致中学高三期中）设函数 （1）求函数的单调递增区间； （2）在锐角中，若，求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由已知得， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）因为，所以，又锐角中，，即，所以，所以， 由，，得， 所以，故， 由正弦定理得，，，故三角形面积. 3．（2020·宁夏银川九中高三月考（文））已知、、为锐角三角形的三个内角，若向量与向量是共线向量. （1）求角； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1），且， 所以，