考点07 三角函数的性质-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点07 三角函数的性质 知识理解 一．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 定义域 R R {x|x≠+kπ,k∈Z} 值域 [-1,1] [-1,1] R 单调性 在[2kπ-,2kπ+] (k∈Z)上单调递增;在[2kπ+,2kπ+](k∈Z)上单调递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递增;在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减 在(kπ-,kπ+) (k∈Z)上单调递增 最值 x=2kπ+(k∈Z)时,ymax=1; x=2kπ-(k∈Z)时,ymin=-1 x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1 无最值 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称性 对称中心(kπ,0)(k∈Z) 对称中心(kπ+,0)(k∈Z) 对称中心(,0)(k∈Z) 对称轴l:x=kπ+(k∈Z) 对称轴l:x=kπ(k∈Z) 最小正周期 2π 2π π 二．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． （2）在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． （3）用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示： x ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 三．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 考向一 周期考向分析 【例1】（2020·宁夏银川一中）下列函数中最小正周期为的函数是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A选项的最小正周期为；B选项的最小正周期为； C选项的最小正周期为；D选项的最小正周期为.故选：D 【方法总结】 求三角函数最小正周期的常用方法 (1) 公式法，将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝Acos(ωx＋φ)＋B的形式， 再利用T＝求得；y＝Atan(ωx＋φ)＋B, (2)图象法，利用变换的方法或作出函数的图象，通过观察得到最小正周期，一般针对含有绝对值的 【举一反三】 1．（2020·云南昆明一中高三月考）函数的最小正周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以最小正周期为.故选：B. 2．（2020·吉林市教育学院高三）下列函数中最小正周期为的函数的个数（ ） ①；②；③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】对于①，由正弦函数的图像和性质可知其周期为；对于②，其周期为；对于③，其周期为，所以共有2个函数的周期为，故选：C 3．（2020·全国高三月考）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，其中，且为锐角， 所以函数的最小正周期，故选：A． 4．（2020·全国高三专题练习）函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以最小正周期为. 故选：D. 考向二 对称性 【例2】（1）（2020·山西高三月考）函数的图象（ ） A．关于原点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于点对称 （2）（2020·天津高三期中）若函数的图像关于点中心对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】（1）D（2）C 【解析】（1）函数中，令，解得； 令得，所以的图象关于原点对称，D正确. 代入验证知错误.故选：D. （2）因为函数的图像关于点中心对称，所以， 所以，解得，所以故选：C 【方法总结】 【举一反三】 1．（2020·河南南阳中学高三月考）函数图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 所以令，解得 令则故函数的一条对称轴为故选：D 2．（2020·四川省泸县第四中学高三开学考试）已知函数则函数的图象的对称轴方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，，令，得.故选：C. 3．（2020·山东高三专题练习）函数的一个对称中心是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则所以函数的对称中心为令，所以函数的一个对称中心是故选：B 4（2020·江西省信丰中学高三月考）若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案