考点04 三角形-2021年《三步冲刺中考·数学》（上海专用）之第1步小题夯基础

考点04三角形 1．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____． 【答案】 ． 【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H， ∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4， ∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°， ∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°， ∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3， ∴EH=DE×sin∠HDE=3× = ，∴E到直线BD的距离为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等． 一、单选题 1．（2020·上海大学附属学校九年级三模）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则弦CD的长为（　　） A．2 B．﹣1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可知∠COE=30°，CE= OC=1，再由垂径定理可知CE= CD，即可求出CD的长． 【详解】解：∵∠A=15°，∴∠COE=30°， ∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，半径为2，∴CE= OC=1， ∴CE= CD，∴CD=2故选：A 【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．（2020·上海普陀区·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（　　） A．8 B．16 C．8 D．16 【答案】D 【分析】由矩形的性质得出OA=BO，证△AOB是等边三角形，得出AB=OB=4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积． 【详解】∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=90°，AO=CO= AC，BO=DO= BD，AC=BD=2OB=8， ∴OA=OB=4， ∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB=4， ∴AD= ， ∴矩形ABCD的面积=AB×AD=4×4 =16 ； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明△AOB为等边三角形是解题的关键． 3．（2020·上海虹口区·九年级二模）已知在ABC中，小明按照下列作图步骤进行尺规作图（示意图与作图步骤如表），那么交点O是△ABC的（ ） 示意图 作图步骤 （1）分别以点B、C为圆心，大于 BC长为半径作圆弧，两弧分别交于点M、N，联结MN交BC于点D； （2）分别以点A、C为圆心，大于 AC长为半径作圆弧，两弧分别交于点P、Q，联结PQ交AC于点E； （3）联结AD、BE，相交于点O A．外心 B．内切圆的圆心 C．重心 D．中心 【答案】C 【分析】根据尺规作图得到AD、BE是△ABC的中线，根据重心的概念判断即可． 【详解】解：由尺规作图可知，MN、PQ分别是线段BC、AC的垂直平分线， ∴点D、E分别是BC、AC的中点， ∴AD、BE是△ABC的中线， ∴点O是△ABC的重心， 故选：C． 【点睛】本题考查的是中线的尺规作图及三角形重心的概念:三角形的重心是三角形三条中线的交点，掌握三角形重心的概念是解题的关键． 4．（2020·上海浦东新区·九年级二模）矩形 中， ， ，如果分别以 、 为圆心的两圆外切，且点 在圆 内，点 在圆 外，那么圆 的半径 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得AC=13，然后根据点D在⊙C内，点B在⊙C外，求得⊙C的半径R大于5而小于12，根据两圆外切可得到R+r=13，继而可得出结果． 【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC= =13， ∵点D在⊙C内，点B在⊙C外，∴⊙C的半径R的取值范围为：5＜R＜12， ∴当⊙A和⊙C外切时，圆心距为13等于两圆半径之和，则R+r=13， 又∵5＜R＜12，则5＜13-r＜12，∴1＜r＜8． 故选：C． 【点睛】此题综合运用了点和圆的位置关系以及两圆的位置关系，同时考查了勾股定理，掌握基本概念和性质是解题的关键． 5．（2020·上海九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形