考点02 复数（考点详解）-2021年数学高考高分直通车（上海专用）

考点02 复数 从近三年高考情况来看，复数一直是高考的热点，尤其集合的运算考查比较频繁，一般以复数的四则运算和复数的几何意义为主，与其他知识结合起来进行考查，以选择题或填空题的形式出现． 1.通过方程的解，认识复数； 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义； 3.掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 知识梳理 1.复数的有关概念 内容 意义 备注 复数的概念 形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数 复数相等 a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R) 共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴，y轴叫虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数 复数的模 设eq \o(OZ,\s\up6(→))对应的复数为z＝a＋bi，则向量eq \o(OZ,\s\up6(→))的长度叫做复数z＝a＋bi的模 |z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2) 2.复数的几何意义 复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \o(OZ,\s\up6(→)). 3.复数的运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）) ＝eq \f(ac＋bd＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0). 复数的相关概念 一、单选题 1．（2020·上海徐汇区·高三一模）若 是关于 的实系数方程 的一根，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将 代入方程 ，根据复数为零可得出关于实数 、 的方程组，可解出 、 的值，由此可得出 的值. 【详解】由题意可得 ，即 ， 所以 ，解得 ，因此， . 故选：A. 2．（2020·上海高三专题练习）i是虚数单位，若集合S= ，则 A． B． C． D． 【答案】B 试题分析：由 可得， ， ， ， . 考点：复数的计算，元素与集合的关系. 3．（2020·上海高三专题练习）设 ， ，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是“ 是虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若 、 皆是实数，则 一定不是虚数，因此当 是虚数时，则“ 、 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立； 当 、 中至少有一个数是虚数， 不一定是虚数，如 ，即充分性不成立，故选B. 考点：复数概念，充要关系 二、填空题 4．（2020·上海徐汇区·位育中学高三月考）若虚数 是实系数方程 的一个根，则 的值为_________. 【答案】 【分析】根据题中条件，得到 ， ， ，由复数的运算，以及复数相等的条件，求出 ，即可得出结果. 【详解】因为虚数 是实系数方程 的一个根， 所以 ， ， ， 即 ， ， ， 即 ， ， ， 则 ，解得 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查复数的运算，考查由复数相等求参数，属于基础题. 5．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为______. 【答案】 【分析】利用复数的除法运算，求出 ，即可得出其虚部. 【详解】∵ ， ∴复数 的虚部为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的概念，属于基础题. 6．（2020·上海普陀区·高三月考）已知i为虚数单位，若复数z满足 ，则实数a的值为______. 【答案】5 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设 ，则可得 ， 所以 . 故答案为：5 【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题. 7．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 __________． 【答案】 【分析】