专题20 利用导数解决函数的极值点问题-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题20 利用导数解决函数的极值点问题 一、单选题 1．已知函数，则下列结论错误的是（ ） A．是奇函数 B．若，则是增函数 C．当时，函数恰有三个零点 D．当时，函数恰有两个极值点 【答案】C 【分析】 对A,根据奇函数的定义判定即可. 由条件可得，则，,所以在上单调递增,且,所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则,将的值代入分别计算分析，可判断选项B，C，D 【详解】 对A, 的定义域为,且 .故A正确. 由条件可得，则， 所以在上单调递增,且 所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增.则 对B, 当时，，所以是增函数，故B正确. 对C,当时，由上可知, ， 所以是增函数,故不可能有3个零点.故C错误. 对D,当时，，由上可知在上单调递减，在上单调递增. 则，， 所以存在，使得，成立 则在上，，在上，，在上，. 所以函数在单调递增，在的单调递减，在单调递增. 所以函数恰有两个极值点，故D正确. 故选：C 【点睛】 关键点睛：本题主要考查利用导数分析函数的单调性从而得出函数的零点和极值情况，解答本题的关键是对原函数的单调性分析，由条件可得，则，所以在上单调递增,且，所以当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增.则，经过多次求导分析出单调性，属于中档题. 2．如图是函数的导函数的图象，则函数的极小值点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 通过读图由取值符号得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案． 【详解】 由图象，设与轴的两个交点横坐标分别为、其中， 知在，上， 所以此时函数在，上单调递增， 在上，，此时在上单调递减， 所以时，函数取得极大值，时，函数取得极小值． 则函数的极小值点的个数为1． 故选: B 【点睛】 本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题． 3．已知函数的导函数，若在处取得极大值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 分四种情况讨论，分别判断两边导函数值的符号，判断在处是否取得极大值，即可筛选出的取值范围. 【详解】 由在处取得极大值可知，当时，； 当时，， 其等价于①存在，使得， 且②存在，使得； 若时，的解集为，不满足②即不存在，使得，故时在不是极大值； 若时，的解集为，的解集为，满足①②，故时，在处取得极大值； 若，恒小于等于0，不满足①，故时，在取不到极大值； 若时，的解集为，不满足②，故时，在处取不到极大值. 综上，的取值范围是. 故选：A. 【点睛】 求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4)检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. 4．若函数无极值点则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求出函数的导数，问题转化为最多1个实数根，根据二次函数的性质求出a的范围即可. 【详解】 , ， 由函数无极值点知， 至多1个实数根， ， 解得， 实数a的取值范围是， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，属于中档题. 5．已知函数有两个极值点，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据函数有两个极值点得到关于的方程有两个解，采用分离常数的方法分离出，并采用构造新函数的方法确定出新函数的取值情况，由此分析出的取值情况. 【详解】 因为有两个极值点，所以有两个不同实数根，所以有两个不同实数根， 所以有两个不同实数根，显然， 所以有两个不同实数根，记，， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又因为时，；当时，；当时，， 所以当有两个不同实数根时 ， 所以，所以， 故选：D. 【点睛】 本题考查根据函数极值点的个数求解参数范围，其中涉及到分离参数方法的使用，对学生的理解与计算能力要求较高，难度较难. 6．“”是“函数在上有极值”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 求出函数的极值点，利用该极值点在内求得实数取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】 ，则，令，可得. 当时，；当时，. 所以，函数在处取得极小值. 若函数在上有极值，则，. 因此，“”是“函数在上有极值”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】 本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 7．已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，.则实数a的取值范围是（ ） A． B