专题19 利用导数求函数的最值-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题19 利用导数求函数的最值 一、单选题 1．若函数y＝x3＋x2＋m在[-2，1]上的最大值为，则m等于（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】 利用导数研究函数的单调性，找出最值，解方程即可得到答案. 【详解】 ，易知，当时，，当或时，， 所以函数y＝x3＋x2＋m在，上单调递增，在上单调递减，又当时， ，当时，，所以最大值为，解得. 故选：C 2．已知函数，，若对于任意的，存在唯一的，使得，则实数a的取值范围是（ ） A．（e，4） B．（e，4] C．（e，4） D．（，4] 【答案】B 【分析】 结合导数和二次函数的性质可求出和的值域，结合已知条件可得，，从而可求出实数a的取值范围. 【详解】 解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当时，， 由时，，时，，可得g（x）在[–1，0]上单调递减， 在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e， 所以对于任意的，．因为开口向下，对称轴为轴， 又，所以当时，，当时，， 则函数在[，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在， 图象关于轴对称，在（，2]上，函数单调递减．由题意，得，， 可得a–4≤0<e<，解得ea≤4． 故选:B． 【点睛】 本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是这一条件的转化. 3．已知函数，对于任意都有，则实数的最小值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】 由题可得，只需满足即可. 【详解】 对于任意都有，即， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，， ，，， ，即的最小值为4. 故选：C. 【点睛】 关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式化为，利用导数求最值即可. 4．设函数．当时（e为自然对数的底数），记的最大值为，则的最小值为（ ） A．1 B． C．e D． 【答案】C 【分析】 由，分，，三种情况分别讨论出函数在上的单调性，从而求出的最大值，再根据的解析式求的最小值. 【详解】 当，即时，在时，，则 此时，在上恒成立, 所以在上单调递增，则 当，即时，在时，，则 所以在上单调递增，则 当，即时， 若，则，，此时单调递增 ，则，，此时单调递增 又时，两段在处的函数值相等，所以在上单调递增 所以 综上所述可得： 由一次函数的单调性可得当时，有最小值 故选：C 【点睛】 关键点睛：本题考查求含绝对值的函数的最值问题，解答本题的关键是打开绝对值得到，然后由时，，当时， ，时，，再由单调性得出最大值，属于中档题. 5．函数在区间上的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用导数分析函数在区间上的单调性，进而可求得函数在区间上的最大值. 【详解】 对于函数，. 当时，；当时，. 所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 所以，. 故选：C. 【点睛】 利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数在内所有使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 6．已知函数(为自然对数的底数)，则以下结论正确的为（ ） A．函数仅有一个零点，且在区间上单调递增； B．函数仅有一个零点，且在上单调递减，在递增； C．函数有二个零点，其中一个零点为0，另一个零点为负数； D．函数有二个零点，且当时，取得最小值为. 【答案】D 【分析】 利用导数研究函数的单调性，然后可得最值及零点． 【详解】 是增函数，∴时，，递减，时，，递增， 显然，∴，又时，，∴在上也有一个零点，因此共有两个零点． 故选：D． 【点睛】 关键点点睛：本题用导数研究函数的单调性，研究函数的零点与最值．解题方法是求出导函数，确定导函数的零点与正负，从而得原函数的单调性与极值，得最值，利用零点存在定理确定零点的存在性． 7．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C．11 D． 【答案】A 【分析】 先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果. 【详解】 因为，所以， 由得，由得或； 又， 所以当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此. 故选：A. 【点睛】 方法点睛： 求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调递增或递减，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要先求出函数在上的极值，再与，比较，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）函数在区间上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 8．某企业拟建造一个容器(不计厚度