专题17 利用导数求函数的极值-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题17 利用导数求函数的极值 一、多选题 1．下列命题正确的有（ ） A．已知且，则 B．，则 C．的极大值和极小值的和为 D．过的直线与函数有三个交点，则该直线斜率的取值范围是 【答案】ACD 【分析】 由等式关系、指数函数的性质可求的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与有三个交点，即可知有两个零点且不是其零点即可求斜率范围. 【详解】 A选项，由条件知且，所以，即； B选项，有，，而； C选项，中且开口向上，所以存在两个零点且、，即为两个极值点， 所以； D选项，令直线为与有三个交点，即有三个零点，所以有两个零点即可 ∴，解得 故选：ACD 【点睛】 本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题. 2．对于函数，下列说法正确的是（ ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 【答案】ACD 【分析】 求得函数的导数，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A正确；根据函数的单调性和，且时， ，可判定B不正确；由函数的单调性，得到，再结合作差比较，得到，可判定C正确；分离参数得到在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性与最值，可判定D正确. 【详解】 由题意，函数，可得， 令，即，解得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，极大值为，所以A正确； 由当时，， 因为在上单调递增，所以函数在上只有一个零点， 当时，可得，所以函数在上没有零点， 综上可得函数在只有一个零点，所以B不正确； 由函数在上单调递减，可得， 由于， 则， 因为，所以，即， 所以，所以C正确； 由在上恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，即，解得， 所以当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最大值，最大值为， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3．已知函数，其导函数为，下列命题中为真命题的是（ ） A．的单调减区间是 B．的极小值是﹣6 C．过点只能作一条直线与的图象相切 D．有且只有一个零点 【答案】BCD 【分析】 求出函数的导数，即可得出其单调性和极值，从而判断ABD的真假，再根据导数的几何意义求切线方程即可判断C的真假． 【详解】 因为，令，得或， 则在，上单调递增； 令，得，则在上单调递减． 所以极小值为，极大值为，而， 故存在唯一一个零点，A错误，B、D正确； 设过点的直线与的图象相切，切点为， 因为，， 所以切线方程为． 将代入，得． 令，则， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 因为，，， 所以方程只有一解，即过点只能作一条直线与的图象相切，故C正确． 故选：BCD． 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，导数的几何意义的应用，以及零点存在性定理的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 4．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数.根据以上材料，对于初等函数的说法正确的是（ ） A．无极小值 B．有极小值 C．无极大值 D．有极大值 【答案】AD 【分析】 将函数的解析式变形为，利用复合函数的求导法则可求得，利用导数可求得函数的极值，由此可得出结论. 【详解】 根据材料知：， 所以， 令得，当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减. 所以有极大值且为，无极小值. 故选：AD. 【点睛】 本题考查利用导数求解函数的极值，同时也考查了复合函数的求导法则的应用，考查计算能力，属于中等题. 5．设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ） A．在单调递增 B．在单调递增 C．在上有极大值 D．在上有极小值 【答案】AC 【分析】 首先根据题意设，得到，再求出的单调性和极值即可得到答案. 【详解】 由得，则 即，设 ， 即在单调递增，在单调递减 即当时，函数取得极小值. 故选：AC 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了构造函数，属于中档题. 6．已知函数，其导函数为，下列命题中真命题的为（ ） A．的单调减区间是