专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小 一、单选题 1．设则下列判断中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数，利用导数分析的单调性，从而判断出的大小关系. 【详解】 设，所以，令，所以， 所以时，，单调递增；，，单调递减， 因为，且，所以， 故选：B. 【点睛】 方法点睛：利用构造函数思想比较大小的方法： （1）先分析所构造函数的导函数，由此分析出函数的单调性； （2）先比较处于同一单调区间的函数值大小； （3）再通过一定方法（函数性质、取中间值等）将非同一单调区间的函数值转化到同一单调区间，即可完成比较大小. 2．是定义在上的非负､可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造新函数求导利用新函数的单调性得解. 【详解】 设则因为；所以时，则函数在上是减函数或常函数；所以对任意正数a，b，若，则必有 是定义在上的非负､可导函数, 两式相乘得 故选A 【点睛】 本题考查导数的运算，构造新函数，利用函数单调性比较大小，属于中档题.. 3．是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且时，，记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 构造函数，可得在的单调性，可得答案. 【详解】 解：令，得， 由时，，得，在上单调递减， 又，，， 可得，故，故， 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及利用函数单调性比较数值大小，关键在于由已知条件构造出合适的函数，属于中档题. 4．已知函数在处取得最大值，则下列判断正确的是（ ） ①，②，③，④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】 ，令，可知在上单调递减，，所以存在使得，进而可得 ，然后利用作差法可得. 【详解】 的定义域为， ， 令在上单调递减， ，， 所以，，所以， ， ，因为，所以， 所以，即；所以②③正确； 故选：B 【点睛】 思路点睛：要判断不等式或等式成立，首先要对函数求导，判断单调性，如果导函数大于或小于0无法求出解集，若导函数的分子符号是定的，需要看导函数的分子是否有单调性，如果看不出导函数分子的单调性，就要设分子为一个新的函数，再求导，利用零点存在定理，即可得出新函数的符号，即可判断原导函数的符号，即可解决问题. 5．已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 令，先判断函数 为奇函数，再判断函数在区间，上单调递减，由，得，即可求出． 【详解】 令，，， 为奇函数，为偶函数， 为奇函数． ，，有， ， 在区间，上单调递减，又为奇函数， 在区间，上单调递减， 当，，， ， ， ， 故选：D 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数. 6．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 令，得到是定义在上的奇函数，且在上是增函数，结合单调性，即可求解. 【详解】 令，由是定义在上的偶函数， 可得是定义在上的奇函数， 又因为时，， 所以在上是增函数，所以是定义在上的增函数， 又由，所以， 即. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较大小问题，其中解答中构造新函数，求得函数的奇偶性和单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 7．上的函数满足：，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数，则由题意可证得在上单调递增，又， ，故可转化为，解得. 【详解】 令，则， 因为，所以， 所以函数在上单调递增， 又，所以 故当时，有，即， 由的单调性可知. 故选：D. 【点睛】 本题考查导数与函数的应用，考查构造函数法，根据函数的单调性求解不等式，难度一般. 8．若定义域为的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性，可知在上单调递增，得出，整理即可得出答案． 【详解】 解：由题可知，则， 令， 而，则， 所以在