专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参）-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题14 分类讨论证明或求函数的单调区间（含参） 1．设函数． （1）当时，讨论在内的单调性； （2）当时，证明：有且仅有两个零点． 【答案】（1）在或上单调递减，在或上单调递增；（2）证明见解析. 【分析】 （1）先求导，根据导数和函数的单调性，结合三角函数的性质即可求出单调区间； （2）先判断出函数为偶函数，则问题转化为在有且只有一个零点，再利用导数和函数单调性的关系，以及函数零点存在定理即可求出． 【详解】 （1）当时，， ， 令，解得或，， 当时，解得或，当时，解得或， 在，或，上单调递减，在或上单调递增； （2）的定义域为， ， 为偶函数， ， 有且仅有两个零点等价于在有且只有一个零点， ， 当时，，恒成立， 在上单调递减， ， ， 在上有且只有一个零点， 当时，令，即， 可知存在唯一，使得， 当或时，，，函数单调递增， 当时，，，函数单调递减， 由，，可得， 当，， ， 在上有且只有一个零点， 综上所述，当时，有且仅有两个零点． 【点睛】 方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论；若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 2、用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决. 2．已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）当时，求证：． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）先求导，分为，，和四种情形进行分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）等价于，令，利用当时的结论，根据导数判断与0的关系，即可证明. 【详解】 解：的定义域为， 则， 当时，，当时，，当时，， 函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，解得或， 当时，恒成立， 函数的单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，， 当或时，，当，时，， 函数的单调递减区间为或，单调递增区间为，， 当，， 当或，时，，当时，， 函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为． 综上所述：当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间， 当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为，， 当时，函数的单调递减区间为或，，单调递增区间为． （2） 证明：要证，即证， 令， 则， 由（1），当时，， 可得的单调递减区间为，单调递增区间为， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， （1）， 在上单调递增， （1）， 当时，，， 当时，，， ， 即． 【点睛】 含有参数的函数单调性讨论常见的形式： （1）对二次项系数的符号进行讨论； （2）导函数是否有零点进行讨论； （3）导函数中零点的大小进行讨论； （4）导函数的零点与定义域端点值的关系进行讨论等. 3．已知函数. （1）若，求在区间上的极值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）答案见解析. 【分析】 （1）当时，求得，利用导数分析函数的单调性，由此可求得函数在区间上的极值； （2）求得，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间. 【详解】 （1）当时，，所以，，列表； 单调递减 极小 单调递增 所以，在区间上的有极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，从而，故函数在上单调递减； 当时，若，则，从而； 若，则，从而. 故函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【点睛】 方法点睛：讨论含参数函数的单调性，通常以下几个方面： （1）求导后看函数的最高次项系数是否为，需分类讨论； （2）若最高次项系数不为，且最高次项为一次，一般为一次函数，求出导数方程的根； （3）对导数方程的根是否在定义域内进行分类讨论，结合导数的符号变化可得出函数的单调性. 4．已知函数． （1）试讨论的单调性； （2）若，证明：． 【答案】（1）答案不唯一见解析；（2）证明见解析. 【分析】 （1）对函数进行求导得，再对分三种情况讨论，即，，三种情况； （2）要证明，只需证明，而，因此只需证明，再利用函数的单调性，即可得证； 【详解】 解析：（1）因为， ①当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减； ②当时，， 当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减； ③当时，，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增． （2）要证明，只需证明，