专题12 坐标法模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题12坐标法模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 1． 坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度. 二、典型例题 例1. 如图小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ） А. B. C. D. 例2. 四面体在空间坐标系内的坐标分别为，，，，则该四面体的外接球的面积为（ ） A． B． C． D． 三、配套练习 1.空间直角坐标系中，棱长为6的正四面体的顶点，，，则正四面体的外接球球心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 2．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 3．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 4．在三棱锥，平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A． B． C． D． 5．正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的体积为 . 6．如图，在小正方形边长为1的网格中画出了某多面体的三视图，则该多面体的外接球表面积为　 　． 7．已知三棱锥，面，且， ，求三棱锥外接球的半径. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题12 坐标法模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 1． 坐标法 对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度. 二、典型例题 例1. 如图小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（ ） А. B. C. D. 【解析】由三视图可知，该几何体为如图1所示的四棱锥，其中四边形为矩形. 图1 图2 如图2，建立空间直角坐标系，则，，.设球心的坐标为， 则，，，得到方程组 解之得，于是球心 . 所以该多面体的外接球半径， 因此其表面积为.故选C. 例2. 四面体在空间坐标系内的坐标分别为，，，，则该四面体的外接球的面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】设球心坐标为， 则， 解得，，， 四面体的外接球的半径为， 四面体的外接球的面积为，故选：． 三、配套练习 1.空间直角坐标系中，棱长为6的正四面体的顶点，，，则正四面体的外接球球心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系． 设点是底面的中心，则． 取的中点，连接、、，则平面． 则，． 在中，． ，即， 解得． ， 正四面体的外接球球心的坐标可以是，故选：． 2．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】解析：如图，在长、宽、高分别为的长方体中，，为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示 则，，，，设球心为， 于是有， 解得，所以， 所以外接球的半径为，表面积为. 3．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解析】如图，在长、宽、高分别为的长方体中，为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三棱锥，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，， 设球心为，，于是有 ， 解得，所以， 所以外接球的半径为,表面积为. 4．在三棱锥，平面，，，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( ) A． B． C． D． 【解析】法一 该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥，，，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球， 因为六棱柱的外接球的直径为，，所以该球的表面积为。 法二 取该三棱锥的底边的中点为，连接，则，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， 设球心为，于是有， 则 ， 解得，所以， 所以外接球的半径为,表面积为. 5．正方体的棱长为2，为的中点，则三棱锥的外接球的体积为 . 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示，则，，， 设外接球球心坐标为，则球心到，，，四点的距离相等，都等于半径， 即 解得 ，故