专题11 二面角模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题11二面角模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 二、典型例题 例1.在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为　　． 例2.在等腰直角中，，，为斜边的高，将沿折叠，使二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 例3.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 例4.在平面五边形中，，，，，且．将五边形沿对角线折起，使平面与平面所成的二面角为，则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是　　． 例5.在三棱锥中，，，，二面角、、的大小均为，设三棱锥的外接球球心为，直线交平面于点，则三棱锥的内切球半径为　　，　　． 三、配套练习 1．在三棱锥中，，，二面角是钝角．若三棱锥的体积为2．则三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．如图，在体积为的四棱锥中，底面为边长为2的正方形，为等边三角形，二面角为锐角，则四棱锥外接球的半径为　　 A． B． C． D． 4．在四面体中，，，二面角的平面角为，则四面体外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．如图，边长为4的正方形的对边、的中点为、，将此正方形沿着折成的二面角，连、得一直三棱柱，则此三棱柱外接球的表面积等于　　 A． B． C． D． 6．已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 7．在正方体中，为棱上一点，且，若二面角为，则四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，三棱锥的外接球心为，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 9．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 10．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至’位置，若二面角’的大小为，则四面体’ 的外接球的表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 11．四边形是菱形，，，沿对角线翻折后，二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 12．在三棱锥中，与均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为，则该三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 13．在三棱锥中，底面是边长为3的等边三角形，，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的表面积为　　． 14．已知直三棱柱中，，，设二面角的平面角为，且，现在该三棱柱的内部空间放一个小球，设小球的表面积为，三棱柱的外接球的表面积为，则的最大值为　　． 15．在正方体中，是上一点，若平面与平面所成锐二面角的正切值为，设三棱锥外接球的直径为，则　 　． 16．已知空间四边形中，，，，若二面角的取值范围为，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为　　． 17．已知边长为6的菱形中，，沿对角线折成二面角的大小为的四面体且，则四面体的外接球的表面积为　　． 18．已知三棱锥，，且、均为等边三角形，二面角的平面角为，则三棱锥外接球的表面积是　　． 19．在三棱锥中，顶点在底面的投影是的外心，，且面与底面所成的二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 20．在菱形中，，，将沿折起到的位置，若二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题11二面角模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 二面角模型 如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 二、典型例题 例1.在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为　　． 【解析】如图所示，过点作面，垂足为，过点作交于点，连接， 则为二面角的平面角的补角，即有， 易知面，则，而为等边三角形， 所以为中点， 设，，， 则， 故三棱锥的体积为：， 当且仅当时，体积最大，则，即，，