专题10 垂面模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题10 垂面模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 二、典型例题 例1.已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 例2.已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 例3.在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　． 例4．在菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则的长为　　． 三、配套练习 1．在边长为菱形中，，将这个菱形沿对角线折起，使得平面平面，若此时三棱锥的外接球的表面积为，则　　 A． B． C． D．3 2．在三棱锥中，平面平面，，且直线与平面所成角的正切值为2，则该三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．已知在三棱锥中，是等边三角形，，平面平面，若该三棱锥的外接球表面积为，则　　 A． B． C． D． 4．如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．如图所示，已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，，，则多面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 6．在正方形中，，沿着对角线翻折，使得平面平面，得到三棱锥，若球为三棱锥的外接球，则球的体积与三棱锥的体积之比为　　 A． B． C． D． 7．已知四棱锥一中，平面平面，其中为正方形，为等腰直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几 何体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 9．在三棱锥中，和都是边长为的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 10．在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 11．已知三棱锥中，，，，且三棱锥的外接球的表面积为，则当平面平面时，三棱锥的表面积等于　　 A． B． C． D． 12．在三棱锥中，平面平面，，，，若此三棱锥的外接球表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　 A．7 B．12 C．6 D． 13．如图，，均垂直于平面和平面，，，则多面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 14．已知三棱锥中，是边长为的正三角形，，平面平面，则三棱锥的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 15．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面．若该三棱锥外接球的表面积为，且球心到平面的距离为，则三棱锥的体积的最大值为　　 A． B． C．27 D．81 16．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 17．已知空间四边形，，，，，且平面平面，则该几何体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 18．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折起，使得平面平面，则所得三棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 19．在三棱锥中，与都是正三角形，平面平面，若该三棱锥的外接球的体积为，则边长为　　 A． B． C． D．6 20．在三棱锥中，与都是边长为6的正三角形，平面平面，则该三棱锥的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 21．把边长为3的正方沿对角线对折，使得平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 22．已知空间四边形，，，，且平面平面，则空间四边形的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 23．如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为　　 A． B． C． D． 24．在三棱锥中，，平面平面，当三棱锥的体积的最大值为时，其外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 $$ 专题10 垂面模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 垂面模型 如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下： （1）找出和的外接圆圆心，分别记为和． （2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为． （3）过作的垂线，垂足记为，连接，则． （4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径． 二、典型例题 例1.已知是以为斜边的直角三角形，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 【解析】由题意知的中