专题09 最值模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题09 最值模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 二、典型例题 例1.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 例2.已知三棱锥的顶点，，都在半径为2的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 例3.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是 . 例4.已知底面为正三角形的三棱柱内接于半径为1的球，则三棱柱的体积的最大值为　 　． 例5.已知底面为正三角形的直三棱柱内接于半径为1的球，当三棱柱的体积最大时，三棱柱的高为　 　． 三、配套练习 1．如图，四边形的面积为，且，把绕旋转，使点运动到，此时向量与向量的夹角为．则四面体外接球表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 2．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为　　 A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，顶点在底面的投影恰为正方形的中心且，设点、分别为线段、上的动点，已知当取得最小值时，动点恰为的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．如图，直角三角形，，，将绕边旋转至’位置，若二面角’的大小为，则四面体’ 的外接球的表面积的最小值为　　 A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，，当阳马体积为时，堑堵的外接球的体积的最小值为　　 A． B． C． D． 6．在三棱锥中，平面，，，是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 7．已知棱长为2的正方体中，为中点，在线段上运动，则三棱锥的外接球的表面积最小值为　　 A． B． C． D． 8．将面积为2的长方形沿对角线折起，使二面角的大小为，则三棱锥的外接球的体积的最小值是　　 A． B． C． D．与的值有关的数 9．如图，三棱锥的四个顶点恰是长、宽、高分别是，2，的长方体的顶点，此三棱锥的体积为2，则该三棱锥外接球体积的最小值为　　 A． B． C． D． 10．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球体积的最小值为　　 A． B． C． D． 11．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为　　 A． B． C． D． 12．如图，在三棱锥中，，，，．三棱锥的外接球的表面积为，则该三棱锥的体积的最大值为　　 A． B． C． D． 13．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为　　 A． B． C． D． 14．三棱锥中．，为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为．则三棱锥体积的最大值为　　 A．1 B．2 C． D． 15．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的半径为　　 A．1 B．2 C．3 D． 16．在三棱锥中，，，为中点，，若该三棱锥的体积的最大值为，则其外接球表面积为　　 A． B． C． D． 17．已知三棱锥的底面是正三角形，，点在侧面内的射影是的垂心，当三棱锥体积最大值时，三棱锥的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 18．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 19．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为　　． 20．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　． 21．在三棱锥中，，三角形为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大值为时，三棱锥的外接球的表面积为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题09 最值模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等 二、典型例题 例1.已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图所示，当点位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为， 故选：． 例2.已知三棱锥的顶点，，都在半径为2的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为　　 A． B．