专题08 共斜边拼接模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题08 共斜边拼接模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 1． 共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径. 二、典型例题 例1.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 例2.三棱锥中，平面平面， ，,，则三棱锥的外接球的半径为 三、配套练习 1．在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角．则四面体的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 3．在平行四边形中，，，将此平行四边形沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．在平行四边形中，满足，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．如图，在平面四边形中，，，．将该四边形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 6．矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 8．如图所示，在平行四边形中，，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 9．平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角一，且，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 10．在平行四边形中，，且，沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 11．在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 12．在平行四边形中，，，若将其沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 13．如图，二面角满足半平面，半平面内有一点（不在上），半平面内有一点（不在上），，在直线的射影分别为，，不重合），，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 14．已知等边三角形的边长为8，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为　　 15．如图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为　　． 16．在矩形中，已知，，将该矩形沿对角线折成直二面角，则四面体的外接球的体积为　　． 17．将长宽分别为3和4的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为　　 18．把边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为　 　． 19．在平行四边形中，，若将沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题08 共斜边拼接模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 1． 共斜边拼接模型 如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的,为公共的斜边,故以“共斜边拼接模型”命名之.设点为公共斜边的中点,根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等,故点就是四面体外接球的球心,公共的斜边就是外接球的一条直径. 二、典型例题 例1.在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知. ∴点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示. ∴外接球的半径.故.选C. 例2.三棱锥中，平面平面， ，,，则三棱锥的外接球的半径为 【解析】是公共的斜边，的中点是球心 ，球半径为. 三、配套练习 1．在梯形中，，，，，将梯形沿对角线折叠成三棱锥，当二面角是直二面角时，三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图：，， ，， 取的中点，的中点，连结，， 平面平面， 平面， ，， ， ， ，即外接球的半径为2， 此时三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 2．将边长为的正方形沿对角线折成一个直二面角．则四面体的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，画图如下： 在中，作，则为中点， 且根据四边形是正方形， 可知． 点即为四面体的外接球的球心， ， 球． 故选：． 3