专题07 侧棱为外接球直径模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题07 侧棱为外接球直径模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形. 二、典型例题 例1．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 例2．已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 例3．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且、都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是　　． 三、配套练习 1．在三棱锥中，，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　 A． B． C．1 D． 2．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 3．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且，都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是　　 A． B． C． D． 6．已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，若面面，则三棱锥的体积最大值为　　 A． B． C．1 D．2 7．三棱锥的外接球为球，球的直径，且，都是等边三角形，则三棱锥的体积是　　 A． B． C． D． 8．已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么顶点到平面的距离为　　 A． B． C． D． 9．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为　 　． 10．在三棱锥中，底面为△，且，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为　　． 11．已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积　 　． 12．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题07 侧棱为外接球直径模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形. 二、典型例题 例1．已知三棱锥的所有顶点都在球的表面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则此三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意作出图形： 设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面， 延长交球于点，则平面． ， ， 高， 是边长为1的正三角形， ， ． 故选：C． 例2．已知点是以为直径的圆上异于，的动点，为平面外一点，且平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 【解析】因为为外接圆的圆心，且平面平面，过作面的垂线，则垂线一定在面内， 根据球的性质，球心一定在垂线， 球心一定在面内，即球心也是外接圆的圆心， 在中，由余弦定理得，， 由正弦定理得：，解得， 三棱锥外接球的表面积为， 故答案为：． 例3．三棱锥的外接球为球，球的直径是，且、都是边长为1的等边三角形，则三棱锥的体积是　　． 【解析】如图所示，连接，． 、都是边长为1的等边三角形， ，，． ，． 三棱锥的体积． 故答案为：． 三、配套练习 1．在三棱锥中，，斜边上的高为1，三棱锥的外接球的直径是，若该外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　 A． B． C．1 D． 【解析】当平面时，以、、为棱构造长方体， 此时三棱锥的外接球即该长方体的外接球，其直径为， 该外接球的表面积为，， 设，，在三棱锥中，，斜边上的高为1， ， 设斜边上的高为，则， 由，得， ，，，即， 当且仅当时，取等号， 当时，，解得， 此时三棱锥体积为． 由此排除，，选项， 故选：． 2．已知三棱锥外接球的直径，且，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】如图， 设三棱锥外接球的球心为，连接，， 则， ， 三棱锥为正四面体，过作平面，垂足为， 则，． ． 故选：． 3．已知三棱锥的四个顶点均在某个球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意作出图形， 设球心为，球的半径．过三点的小圆的圆心为， 则平面，延长交球于点，则平面． 是边长为4的等边三角形，， ， 高， 是边长为4正三角形， ， ． 则球的表面积为． 故选：． 4．已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】如下图所示， 的面积，设的外接圆为圆，连接，则平面， 作圆的直径，连接， 、分别为、的中点，则，平面， 三棱锥的体积． ， 由