专题05 直棱锥模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题05直棱锥模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 1． 直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 二、典型例题 例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ． 例2.已知点，，，，是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形．若，则的面积为　　． 例3.已知球面上的四点平面，则球的体积等于 . 三、配套练习 1．已知三棱锥中，平面，平面，若，，则此三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．若四棱锥为阳马，底面为矩形，平面，，，二面角为，则四棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 3．在三棱锥中，平面，，底面是边长为3的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 4．三棱锥中，平面且，是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 6．在三棱锥中，侧棱平面，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 7．在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 8．三棱锥中，平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 9．在三棱锥中，平面，，，，设为中点，且直线与平面所成角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为　　． 10．如图，在三棱锥中，平面，，．若三棱锥外接球的半径为，则直线与平面所成角的正切值为　　． 11．在四棱锥中，平面，，点是矩形内（含边界）的动点，且，，直线与平面所成的角为．记点的轨迹长度为，则　　；当三棱锥的体积最小时，三棱锥的外接球的表面积为　　． 12．已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为　　． 13．已知四面体中，，，，平面，则四面体外接球的表面积为　 　． 14．如图，在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　． 15．已知在三棱锥中，平面，，且在中，，则三棱锥的外接球的体积为　 　． 16．矩形中，，，平面，，，分别是，的中点，则四棱锥的外接球表面积为　　 17．在三棱锥中，平面，，，又，则该三棱锥外接球的表面积为　 　． 18．中国古代数学经典九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biēnào．若三棱锥为鳖臑，且平面，，又该鳖臑的外接球的表面积为，则该鳖臑的体积为　　． 19．三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　． 20．我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一“阳马”如图所示，平面，，，，则该“阳马”外接球的表面积为　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题05 直棱锥模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 1． 直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径. 解题步骤： 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心； 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，； 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①； ②. 二、典型例题 例1.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ． 【解析】因为侧棱底面，且底面为长方形， 所以内切球在侧面内的正视图为的内切圆， 设的半径为，根据圆的切线长定理得， 所以内切球的半径为； 设该阳马的外接球半径为，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直径， 所以， 所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为. 例2.已知点，，，，是球表面上的点，平面，四边形是边长为正方形．若，则的面积为　　． 【解析】依题意，可将，，，，补全为长方体，让与重合，则球为该长方体的外接球，长方体的对角线即为球的直径． 是边长为正方形，平面，， ， ，， 为边长是的等边三角形， ． 故答案为：． 例3.已知球面上的四点平面，则球的体积等于 . 【解析】依题意，画出图形如下，