专题03 对棱相等模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题03 对棱相等模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 1．对棱相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 二、典型例题 例1．三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 例2．如图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为　 　． 三、配套练习 1．四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2．在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体的外接球的半径为　　 A． B．5 C． D．4 3．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为　　 A． B． C． D． 4．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，则此四面体的外接球的半径为　 　． 6．已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则　　． 7．已知四面体中三组对棱分别相等，且长分别为2，，，则四面体的外接球的半径为　　． 8．已知三棱锥，三组对棱两两相等，即，，则三棱锥的外接球表面积是　　． 9．在四面体中，三组对棱两两相等，分别为，，，则该四面体外接球的表面积为　 　． 10．在四面体中，，，，则该四面体外接球的体积为　　． 11．三棱锥，，，则它的外接球的表面积为　　． 12．在三棱锥中，若，，则其的外接球的表面积为　 　． 13．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题03 对棱相等模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 1．对棱相等模型 四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题. 如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以. 二、典型例题 例1．三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】三棱锥的三条侧棱两两相等，所以把它扩展为长方体， 它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：，， 体对角线的长为球的直径， 它的外接球半径是， 外接球的表面积是， 故选：． 例2．如图所示三棱锥，其中，，，则该三棱锥外接球的表面积为　 　． 【解析】如图， 三棱锥的三条侧棱两两相等，把它扩展为长方体， 它也外接于球，且此长方体的面对角线的长分别为：5，6，7，体对角线的长为球的直径， ． 它的外接球半径是． 外接球的表面积是． 故答案为：． 三、配套练习 1．四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5，则该四面体的外接球的表面积为 　　 A． B． C． D． 【解析】四面体的一组对棱分别相等，且长度依次为，，5， 可将其补为一个三个面上对角线分别为，，5的长方体，如图所示： 长方体的三边长分别为2，3，4， 长方体的外接球即是四面体的外接球，四面体的外接球的半径为， 四面体的外接球的表面积为：， 故选：． 2．在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，，5则此四面体的外接球的半径为　　 A． B．5 C． D．4 【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等， 故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，，5的长方体， 则其外接球的直径， 则 故选：． 3．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中， 可得长方体的三条对角线分别为，2，， 即，，， 解得：，，． 外接球的半径． 三棱锥外接球的体积． 故选：． 4．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】三棱锥中，，，， 构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，， 则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径． 设长方体的棱长分别为，，，则，，， ， 三棱锥外接球的直径为， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：． 5．在四面体中，三组对棱棱长分别相等且依次为，则此四面体的外接球的半径为　　． 【解析】四面体中，三组对棱棱长分别相等， 故可将其补充为一个三个面上对角线长分别为，的长方体， 则其外接球的直径， 则 故答案为： 6．已知三棱锥，三组对棱两两相等，且，，若三棱锥的外接球表面积为．则　　． 【解析】将四面体放置于长方体中，如图所示． 四面体的顶点为长方体八个顶点中的四个， 长方体的外接球就是四面体的外接球， ，，且三组对棱两两相等， 设，得长方体的对角线长为， 可得外接球的直径，所以 三棱锥的外接球表面积为，