专题02 正四面体模型-2021年新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

专题02 正四面体模型（原卷版） 一、解题技巧归纳总结 1．正四面体 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 二、典型例题 例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）． A． B． C． D． 例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 . 三、配套练习 1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为　　 A． B． C．1 D． 2．棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是　　 A． B． C． D． 3．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 4．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 6．在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是　　 A． B． C．1 D． 7．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是　　 A． B． C． D． 8．已知正四面体的棱长为4，则此四面体的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 9．一个棱长为6的正四面体内部有一个任意旋转的正方体，当正方体的棱长取得最大值时，正方体的外接球的表面积是　　 A． B． C． D． 10．如图，在棱长为1的正四面体中，为的重心，是线段的中点，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 11．正四面体（四个面均为正三角形的四面体）的外接球和内切球上各有一个动点、，若线段长度的最大值为，则这个四面体的棱长为　 　． 12．已知正四面体的棱长为1，为棱的中点，则二面角的余弦值为　　；平面截此正四面体的外接球所得截面的面积为　　． 13．已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是　 　． 14．一个正四面体的展开图是边长为的正三角形，则该四面体的外接球的表面积为　　． 15．如图所示，正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题02 正四面体模型（解析版） 一、解题技巧归纳总结 1．正四面体 如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为. 二、典型例题 例1．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【解析】如图球的截面图就是正四面体中的， 已知正四面体棱长为2， 所以，， 所以， 截面面积是： 故选：C． 例2．正四面体的棱长为1，则其外接球的表面积为 . 【解析】解析：依题意，正四面体的外接球半径，其表面积为，故答案为. 三、配套练习 1．棱长为1的正四面体的外接球的半径为　　 A． B． C．1 D． 【解析】已知正四面体的棱长为1，过作，交于， 作平面，交于，连结，设球心为，则在上，连结， ，，， ， 设球半径为，则， ， 解得． 故选：． 2．棱长为的正四面体的外接球和内切球的体积比是　　 A． B． C． D． 【解析】把棱长为的正四面体镶嵌在棱长为的正方体内， 外接球和内切球的球心重合，为正方体的中心， 外接球的球半径为：，，， 内切球的半径为：， 外接球和内切球的半径之比为：， 正四面体的外球和内切球的体积比是， 故选：． 3．如图所示，在正四面体中，是棱的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球的体积是　　 A． B． C． D． 【解析】将侧面和展成平面图形，如图所示： 设正四面体的棱长为 则的最小值为， ． 在正四面体的边长为2， 外接球的半径 外接球的体积． 故选：． 4．表面积为的正四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】表面积为的正四面体的棱长为 将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的对角线长为， 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， 外接球的表面积的值为． 故选：． 5．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解析】将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为，正方体的对角线长为， 正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长， 外接球的表面积的值为． 故选：． 6．在