专题10 借助函数图象解决数学问题新题型-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（河南专用）

专题10 借助函数图象解决数学问题新题型 【核心提示】 1. 函数平移规律 我们所学的所有函数，一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数的平移规律均是：上加下减，左加右减 . 特殊地，含绝对值的函数，多种函数的结合（比如y=等）的平移规律亦是如此. 2. 借助函数图象研究实际问题时，一定要注意自变量的取值范围. 3. 绘制复杂函数图象时，用平滑的曲线将各取值点连接，且两端要出头. 【考点1：复合函数图象】 【例1】【2020·重庆A卷】在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题. （1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； … －5 －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 … … －3 0 3 … （2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”； ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴. ②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3. ③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大. （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）. 【变式1-1】【2020·湖北荆州】九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y的图象与性质共探究过程如下： （1）绘制函数图象，如图1． 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 m … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出了各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象．请你把图象补充完整； （2）通过观察图1，写出该函数的两条性质； ①　 　； ②　 　； （3）①观察发现：如图2．若直线y＝2交函数y的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　 　； ②探究思考：将①中“直线y＝2”改为“直线y＝a（a＞0）”，其他条件不变，则S四边形OABC＝　 　； ③类比猜想：若直线y＝a（a＞0）交函数y（k＞0）的图象于A，B两点，连接OA，过点B作BC∥OA交x轴于C，则S四边形OABC＝　 　． 图1 图2 【例2】【2020·河南】小亮在学习中遇到这样一个问题： 如图，点是上一动点，线段，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点．当为等腰三角形时，求线段的长度． 小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整： （1）根据点在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段，，的长度，得到下表的几组对应值． 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 3.9 2.4 0 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0 操作中发现： ①“当点为的中点时，”．则上表中的值是　 　； ②“线段的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由． （2）将线段的长度作为自变量，和的长度都是的函数，分别记为和，并在平面直角坐标系中画出了函数的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数的图象； （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当为等腰三角形时，线段长度的近似值（结果保留一位小数）． 【变式2-1】【2020·四川达州】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=6cm，CD=2cm，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E. 聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究. （1）通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明. （2）利用几何画板，他改变BC的长度，运动点P，得到不同位置时，CE、BP的长度的对应值； 当BC=6 cm时，得到表1 表1 BP … 1 2 3 4 5 … CE … 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 … 当BC=8cm时，得表2 表2 BP … 1 2 3