陕西省榆林市第十二中学2021届高三上学期第三次月考（12月）数学（理）试题（pdf版）

高三理数参考答案 1．A 解：由，得，所以， 由，得，解得，所以， 所以. 2．C 由题意知， 以表示事件空间中的基本事件， 其中m是抛掷第一颗骰子时向上的点数，n是抛掷第二颗骰子时向上的点数， 则事件空间的基本事件总数为个， 而为纯虚数， 则，由于m>0，n>0，则m=n， 符合条件的基本事件有共六个， 由古典概型的概率计算公式得. 即复数为纯虚数的概率为. 3．A 的通项公式为， 因为。 所以含的项为：， 展开式的系数为-10. 4．A 解：当时，，得， 当时，由得，两式相减得 ，即，所以， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以，所以. 5．C 解：当时，为增函数，开口向上，对称轴， 排除B,D；当时，为减函数，开口向下，对称轴，排除A, 故选:C. 6．B 因为，，， 所以在方向上的投影为． 7．B 因为抛物线的准线方程为， 圆整理得，则圆心坐标为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因此被圆截得的弦长为. 8．A 由图像观察可知，， 所以，则，所以， 根据图像过点，所以 ，则，所以， 函数， 因此把图像向左平移个单位即得到的函数图像. 9．C 四个元素全排列，再除去两个家长相邻和两个小孩相邻情况，故. 10．D 偶函数在上单调递增， 函数在上单调递减， ， 又，， ，， 11．D 由题意知，若如下图示，则，， ∴，， 令，则有， 是锐角三角形，有，得 ∴，而可知：的范围 12．C ，，， 在上为“凸函数”， 在上恒成立，即在上恒成立， 令，，， 在上单调递增，， ，即. 13． 设，将代入，，解得， ，则，， 则切线方程为，即. 14． 由已知可得，，则. 15． 由题得“摸出两只球颜色相同”的概率为.故“摸出两只球颜色不同”的概率为. 16．①④ 由“倒影三棱锥”的几何特征可知平面正确； 当在同一球面上时，若的外接圆不是球的最大圆， 则点不在该球面上，错误； 若该“倒影三棱锥”存在外接球， 则三棱锥的外接球的半径与等边三角形外接圆的半径相等，设其为， 则， 则错误； 由的推导可知该“倒影三棱锥”外接球的球心为的中心， 即的中点，④正确. 故正确的说法有. 17．（1）（2） （1）． 由正弦定理得，即， ∴， ． （2）∵， 因为，所以 ，即． 18．（1）证明见解析，；（2）. （Ⅰ），则有：数列是以3为首项，1为公差的等差数列故- 当时，，当时，，当时也成立． （Ⅱ），， 解得： 19．（1）证明见解析（2）（3）AE与平面PCD不平行,详见解析 （1）证明：∵是正方形 ∵⊥平面, 平面,∴ ∵平面 ∴平面 又∵平面∴平面平面 （2）∵平面, 平面 ∴ 又∵是正方形∴ ∴两两垂直 ∴以为原点如图建系,设 ∴, , , , , ∴ 又∵平面 ∴平面的法向量 设平面 的法向量 则, ∴ 令,得∴ ∴ ∴二面角的大小为 （3）∵, , 又平面,∴平面 ∴平面的法向量为 又∵ ∴与不垂直,∴与平面不平行 20．（1），；（2）填表见解析；没有；（3）人. （1），解得：， 所以. （2）因为，所以“读书之星”有， 从而列联表如下图所示： 非读书之星 读书之星 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将列联表中的数据代入公式计算得， 因为，所以没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关. （3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为. 由题意可知，所以（人）. 21．（1）；（2）证明见解析. 解:（1）根据点在椭圆上，得． 由，得． 因为，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与椭圆只有一个交点，不符合题意． 若直线的斜率存在，设点，，直线， 根据点在直线上，得． 把代入，得， 则，． 由，知，，则，均不为0， 则直线的斜率，直线的斜率， ， 因为，所以， 即直线与的斜率之和为定值． 22．（1）-8；（2）. （1）当时，由，得， 令，得或. 当变化时，，在的变化情况如下表： 1 2 0 0 单调递减 极小值 -2+b 单调递增 极大值 单调递减 -2+b 所以在上的最大值为，得. （2）由，得， 因为，且等号不能同时取得， 所以，即， 所以恒成立，即. 令，，则， 当时，，，从而， 所以在上为增函数，所以， 所以. $$ 试卷第 1页，总 4页 榆林市第十二中学 2020-2021 学年第一学期高三年级 第三次质量检测理数试题 试卷满分：150 分（Ⅰ卷 60 分，Ⅱ卷 90 分） 第 I 卷（选择题） 一、单选题（每小题 5 分，共 60 分） 1．已知集合 4{ | 0