精品解析：湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(二)数学试题

长郡中学2021届高三月考试卷（二）数学 一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是虚数单位，若，且其对应的点位于复平面的第二象限，则位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为 A. B. C. 和 D. 4. 如图，网格上纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为 A. B. C. D. 5. 下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知直三棱柱 A. B. C. D. 7. 中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为（　　） A. B. C. D. 8. 设是数列的前n项和，满足，且，则（ ） A. 10 B. C. D. 11 二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数，给出下述论述，其中正确是（ ） A. 当时，的定义域为 B. 一定有最小值 C. 当时，的定义域为 D. 若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 10. 已知，且，是方程的两不等实根，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）正方体ABCD­A1B1C1D1棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（ ） A. 直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A1G与平面AEF平行 C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等 12. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 是奇函数 B. 当时，函数恰有两个零点 C. 若为增函数，则 D. 当时，函数恰有两个极值点 三、填空题：本题共4小题． 13. 在的展开式中，的系数是______． 14. 是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为___________. 15. 已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________． 16. 已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为______． 四、解答题：本题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在递增的等比数列中，，，其中. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 18. 现在给出三个条件：①a＝2；②B；③cb.试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，使其能够确定△ABC，并以此为依据，求△ABC的面积. 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C对边，且满足，求△ABC的面积（选出一种可行的方案解答，若选出多个方案分别解答，则按第一个解答记分） 19. 某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1： 年份x 2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y（千亿元） 5 6 7 8 10 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2： 时间代号t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （Ⅰ）求z关于t的线性回归方程； （Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？ （附：对于线性回归方程，其中） 20. 已知四棱柱中，底面为菱形，，为中点，在平面上的投影为直线与的交点. （1）求证：； （2）求二面角的正弦值. 21. 已知函数，，为自然对数的底数. （1）若，证明：； （2）讨论的极值点个数. 22. 随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价飞入寻常百姓家．某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测试，测试成功后将在全市进行推广． （1）公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为 ，抽中的用户退出活动，同时补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个．若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则活动结束．参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中． ①请求甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率分别是多少? ②请求