专题20 证明题专项训练-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题20 证明题专项训练 1．（2018·上海中考真题）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE﹣BE； （2）联结BF，如果=．求证：EF=EP． 【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论； （2）利用和AF=BE得到，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP． 【详解】（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°， ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3， 在△ABE和△DAF中 ， ∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE； （2）如图，∵，而AF=BE， ∴，∴，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3， 而∠1=∠3，∴∠4=∠1， ∵∠5=∠1，∴∠4=∠5， 即BE平分∠FBP， 而BE⊥EP，∴EF=EP． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键. 2．（2020·上海九年级二模）如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且． 求证：（1）∽； （2） 【分析】（1）只要证明，又∠BAC=∠GAE，即可证明△ABC∽△AGE； （2）只要证明△ADG∽△EDA，可得，推出AD2=DE•DG即可证明； 【详解】证明：（1）∵，∴， ∵四边形ABCD是菱形，∴， ∴，∵， ∴； （2）∵，∴， ∵四边形ABCD是菱形，∴，， ∴， ∵，∴，∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 3．（2020·上海九年级三模）已知：如图，点E为□ABCD对角线AC上的一点，点F在线段BE的延长线上，且EF=BE，线段EF与边CD相交于点G． （1）求证：DF//AC； （2）如果AB=BE，DG=CG，联结DE、CF，求证：四边形DECF是矩形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到BO=DO，根据三角形的中位线定理即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠BAE=∠GCE，求得∠GEC=∠GCE，得到GE=CG，推出四边形DECF是平行四边形，得到DG=CG=FG=GE，于是得到结论． 【详解】证明：（1）四边形是平行四边形，． ，是的中位线． ，即． （2），． 四边形是平行四边形，． ． 又，． ． ，∴△DFG∽△CEG，． ，． 四边形是平行四边形． ，，． ． ． 四边形是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 4．（2020·上海大学附属学校九年级三模）已知：如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E． 求证： （1）△ABC≌△DCB； （2）DE·DC＝AE·BD． 【分析】（1）根据三角形全等的判定条件找到相应的条件：AC＝DB，AB＝DC，BC＝CB， 即可证明； （2）根据题意证明△ADE∽△CBD，对应边成比即可求证． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB， ∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD， （2）∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC， ∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB， ∴△ADE∽△CBD， ∴DE︰BD＝AE︰CD，∴DE·DC＝AE·BD． 【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，相似三角形的证明及性质． 5．（2020·上海九年级二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD． 【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证； （2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽