沪教版（上海）数学高一下册-6.4 反正弦函数 教案

反正弦函数 教学目标 1.理解正弦函数没有反函数；理解反正弦函数是函数的反函数而不是正弦函数的反函数；理解反正弦函数的概念，掌握符号的含义，并会用以表示角； 2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质； 3.会用数形结合等数学思想分析和思考问题。 教学重点 理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。 教学难点 反正弦函数的产生和从本质上处理正弦函数的反函数问题。 教学过程： 1、 引入课题 1、复习：我们学习过反函数，知道反函数的概念，也明确不是任何一个函数都存在反函数。函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。 注：互为反函数的两个函数图像关于直线对称。 2、思考：正弦函数是否存在反函数呢？ [说明] 因为对于任一正弦值都有无数个角值与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3、 讨论： 正弦函数不存在反函数.但能否选取某一区间使得在该区间上存在反函数？ 学生讨论应该选取怎样的区间，使得存在反函数呢？ 这个区间的选择依据两个原则： （1）在所取区间上存在反函数； （2）能取到的一切函数值. 依据这两个原则选择怎样的区间呢？ 学生回答、讨论，不断补充完善。 选取闭区间，使得在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数。 2、 新课 1．概念辨析 （1）引进符号 由于反正弦函数并不是正弦函数的反函数，而是函数，的反函数。用一个记号来表示，引进记号：。 中sin是正弦，arc是英文单词，解释为“圆弧”，圆弧即圆周上的一段，那么圆弧与圆心角有什么关系呢？，在单位圆中，即，所以此时弧即角，角即弧。我们可以将arc理解作角，所以从字面上理解就是正弦值为所对应的角，因此用记反正弦函数是有道理的。 表示正弦值为所对应的角，等号是“是”的意思，所以， 即：正弦值为所对应的角是，是正弦值为所对应的角。因为反正弦函数是函数，的反函数。所以，自变量的取值范围就是原来函数的值域，因变量的取值范围就是原来函数的定义域，因为是，故而，且。 （2）反正弦函数的定义： 函数的反函数叫做反正弦函数，记作， （3）反正弦函数的性质： ①图像 ②定义域[-1，1] ③值域[-，] ④奇偶性：奇函数，即arcsin（-x）=-arcsinx，x∈[-1，1] ⑤单调性：