江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期数学12月月考

扬州中学高三数学试卷 2020.12 一、单选题（每小题5分，计40分） 1. 已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 已知直线经过点，且与直线垂直，则的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3. 欧拉公式是由瑞士数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”。特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，这个恒等式将数学中五个重要的数（自然对数的底e，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”。根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4. 设等差数列的前项和为，且，则（ ） A．45 B．50 C．60 D．80 【答案】C 5. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（） A．B． C．D． 【答案】D 6. 幂函数在上单调递增，则过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 7. 已知，，其中，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 8. 若的外接圆半径为2，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多选题（每小题5分，计20分，多选得0分，少选得3分） 9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．的图象的一条对称轴是 C．在上递减 D．在值域为 【答案】BC 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最小值为16 C．的最小值为8 D．的最小值为2 【答案】ABD 11. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”。在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆M：相切，则下列结论正确的是（ ） A．圆M上点到直线的最小距离为 B．圆M上点到直线的最大距离为 C．圆M上到直线BC的距离为的点有且仅有2个 D．圆与圆M有公共点，则a的范围是 【答案】AD 12. 若实数a,b,c,d满足，则的值可能是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BCD 三、填空题（每小题5分，计20分） 13. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____. 【答案】 14. 椭圆的左、右焦点分别为，，C上存在一点P使得，则椭圆离心率的范围是_______． 【答案】 15. 数列的通项公式，其前n项和为，则______. 【答案】1010 16. 在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BC和C1D1的中点，经过点A，E，F的平面把正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分，则截面的周长为________． 【答案】 【详解】 四、解答题（共6小题，计70分） 17. 【本题满分10分：5+5】 的内角的对边分别为，且，。 （1）求角C的大小； （2）在①，②，③这三个条件中任选一个，若这样的三角形存在，求三角形的周长；若该三角形不存在，请说明理由． 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． 【详解】（1）因为，所以， 又因为，所以，即， 又因为，所以，所以． （2）由余弦定理得，即， 若选①：因为，所以， 所以，与矛盾，所以满足条件的三角形不存在． 若选②：因为，所以，又，所以， 故，即，所以三角形周长． 若选③：因为，所以，联立，解得，，所以三角形周长． 18. 【本题满分12分：5+7】 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，. （1）求证：平面； （2）在棱AB上是否存在一点F，使得二面角的大小为？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由. 证明：（1）取中点，连接，， ，，四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）解：以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则,0,，,0,，,4,，,4,， ,4,，,0,，，4，， 设，0，，则，0，， ，4，， 设平面的法向量为，，， 则，即， 令可得，1，， 设平面的法向量为，，，则，即，令可得，，， 故，令， 即，解得，（舍）， 当为的中点时，二面角的大小为. 19. 【本题满分12分：6+6】 已知数列的前n项和为，，，. （1）求实数m的值，并求出数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 解：（1）当时，，则， 故，① 当时，，② ①②得，则. 故. 当时，满足上式，故. （2）， . 20. 【本题满分12分：2+5+5】 某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据： 未感染病毒