专题09 数列求和方法之裂项相消法-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题09 数列求和方法之裂项相消法 一、单选题 1．已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 首先根据得到，设，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】 当时，， 当时，. 检验，所以. 设，前项和为， 则. 故选：C 2．谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.则下列埃及分数，，，…，的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据裂项相消法即可求和. 【详解】 因为 ， 故选：B 3．设等差数列的前项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 由，求得，又由，求得，求得，得到，进而求得，结合题意，即可求解. 【详解】 设等差数列的公差为， 因为，所以， 整理得，即， 由，可得，即，所以， 所以，所以， 所以， 因为恒成立，所以，故的最小值为1. 故选：A. 【点睛】 若把一个数列的通项拆成两项之差，在去和时中间的一些项可以相互抵消，从而取得前和， 其中常见裂项的技巧： ①；②； ③；④； ⑤. 4．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由题意结合新定义的概念求得数列的前n项和，然后利用前n项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】 设数列的前n项和为，由题意可得：，则：， 当时，， 当时，， 且，据此可得 ， 故，， 据此有： 故选：D 5．已知数列满足，，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用倒数法求出数列的通项公式，进而利用裂项相消法可求得. 【详解】 已知数列满足，， 在等式两边同时取倒数得，， 所以，数列是等差数列，且首项为，公差为，则，， ， 因此，. 故选：B. 【点睛】 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 二、解答题 6．已知数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）当时，由得到，两式相减，然后再利用累积法求解. （2）由（1）得，然后利用裂项相消法求解. 【详解】 （1）当时，， 则， 整理得． 故． 当时，满足上式，故． （2）， ， ． 【点睛】 方法点睛：求数列的前n项和的方法 (1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解. (6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 7．数列各项都为正数，前项和为，，，当时，. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）当时，结合条件可得，即可得（），经验证可得（），从而数列是首项为2公差为3的等差数列，可得出答案. （2）用裂项相消可得答案. 【详解】 （1）当时，，所以， 所以. 因为各项都为正数，所以，故（）. 又因为，，所以，故（）， 所以数列是首项为2公差为3的等差数列， 故. （2）， 所以. 8．等差数列各项都为正数，，， 当时，. （1）求； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）由可得，即可得，再结合，即可得是等差数列，进而求得的通项公式； （2）利用裂项求和即可，. 【详解】 （1）当时， ， 所以， 所以. 因为各项都为正数，所以，故. 又因为，，所以，故， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 所以. （2）因为， 所以. 【点睛】 方法点睛：数列求和的方法 （1）倒序相加法：如果一个数列的前项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可以用倒序相加法 （2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可以用错位相减法来求； （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和； （4）分组