考点03 集合-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点03 集 合 知识理解 一．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 二．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若x∈A，则x∈B) A⊆B(或B⊇A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B 易错点：子集包括集合相等和真子集 三．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 两个集合共同的元素 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 两个集合所有 的元素 补集 设A⊆U，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 在全集中找集合A没有的元素 提示：一般集合为不等式时，一般采用数轴，有等号画实心，没有等号画空心 考向一 元素的特征考向分析 【例1】（2017·河北高考模拟）已知，则实数的值为（　　） A． B． C．或 D．无解 【答案】B 【解析】因为，当时，那么，违反集合元素的互异性，不满足题意，当时，，集合为满足题意，实数的值为，故选B. 【举一反三】 1．（2019·安徽）已知，则实数a的值为（ ） A．1或 B．1 C． D．或0 【答案】C 【解析】当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意； 当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.故选：C 2．（多选）（2020·广东中山一中）已知x∈{1，2，x2}，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】由x∈{1，2，x2}， 当，不满足集合中元素的互异性； 当，满足集合中元素的互异性，符合题意； 当或（舍）， 当满足集合中元素的互异性，符合题意；故选：BC. 3．（2017·江西高三一模（文））已知集合，则集合中元素的个数为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由,得,故.集合中元素的个数为3,选C. 4．（2020·全国高三其他模拟（理））已知集合，若，则__________． 【答案】1 【解析】依题意，分别令，，， 由集合的互异性，解得，则.故答案为： 考向二 子集的个数 【例2】（2021·河南鹤壁高中高二月考）已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【解析】由，得，得，所以， 因为，所以或，所以，所以集合A的子集个数为.故选：A 【方法总结】 1.先化简集合，再判断集合中元素的个数，然后代入对应公式 【举一反三】 1．（2020·湖南高三其他模拟（理））集合的非空子集个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】A 【解析】,集合共有个子集，非空子集个数为4-1=3个， 故选：A 2．（2020·宁夏银川二中高三月考（文））已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】∵，， ∴，∴集合的子集个数为8个，故选：D. 3．（2020·天津一中高一期中）已知集合，则集合的真子集个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 所以，集合的真子集个数为.故选：A. 4．（2020·江苏淮阴中学高三月考）设集合，，，则M中元素的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由题意知，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素，故选B. 考向三 集合间的关系 【例3】（1）（2020·辽宁高二开学考试）已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A． B． C． D． （2）（2020·河南焦作·高三一模（理））设集合，，若，则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】（1）D（2）B 【解析】（1）∵集合M={x|x2=1}={﹣1，1}，N={x|ax=1}，N⊆M，∴当a=0时，N=∅，成立； 当a≠0时，N={}，∵N⊆M，∴或=1．解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a的取值集合为{1，﹣1，0}．故选D． （2）由题，，∵，∴，∴的最大值为2.故选：B． 【方法总结】 子集求参