专题16 几何证明及通过几何证明进行说理问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题16 几何证明及通过几何证明进行说理问题 较之代数计算类题型，几何证明类题型偏重于利用所学的几何知识进行相关证明和说理，解题中一般是先根据图形间的几何关系，利用全等、相似等性质进行相关的说理和计算． 例1（2020上海中考真题）.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D． （1）求证：∠BAC=2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小； （3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）． 【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可． (2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可． (3) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题． 详解】解：(1)连接OA，如下图1所示： ∵AB=AC，∴=，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO． ∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD． (2)如图2中，延长AO交BC于H． ①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD． ∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=675°． ②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD． ∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°． ③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在． 综上所述：∠C的值为67.5°或72°． (3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E． 则==，且BC=2BH，∴==， 设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中， ∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2， ∴a2=，∴BH=，∴BC=2BH=．故答案为：． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 例2（2019上海中考真题）如图1，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE上AD，交BD的延长线于点E （1）求证：∠E＝∠C； （2）如图2，如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值； （3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数，并直接写出的值. 【答案】（1）见解析；（2）cos∠ABC的值为2∶3；（3）∠ABC＝30°或∠ABC＝45°，的值或 【分析】（1）由AE⊥AD，得到∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE，再由AD平分∠BAC，得到∠ABD∠BAC，即可解答 （2）延长AD交BC于点F，得出，再利用三角函数即可即可 （3）根据题意得出∠ABC＝∠E＝∠C，继而可得∠ABC＝30°，，∠ABC＝45°，，即可解答 【详解】证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∠E＝90°－∠ADE. ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD∠BAC，同理∠ABD∠BAC 又∵∠ADE＝∠BAD＋∠ABD，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C， ∴∠ADE（∠BAC＋∠BAC）（180°－∠C）. ∴∠E＝90°－（180°－∠C）∠C 解：延长AD交BC于点F. ∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠E. ∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠E. ∴AE∥ BC. ∴∠AFB＝∠FAE＝90°， 又∵BD∶DE＝2∶3 ∴cos∠ABC＝ ∴cos∠ABC的值为2∶3. （3）解：△ABC与△ADE相似，且∠DAE＝90°， ∴△ABC中必有一个内角等于90°. ∵ABC是锐角，∴∠ABC≠90°. 若∠BAC＝∠DAE＝90°， ∵∠E＝∠C,∴∠ABC＝∠E＝∠C ∵∠ABC＋∠C＝90°，∴∠ABC＝30°.这时 综上所述，∠ABC＝30°或∠ABC＝45°，的值或 【点睛】此题考查角平分线的性质，三角函数，相似三角形的性质，解题关键在于作辅助线 例3.（2020闵行二模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE=8，点G、H分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠G