专题12 两条线段间的函数关系问题——决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题12 两条线段间的函数关系问题 模块一：利用锐角三角比构造函数关系式 1、 知识内容： （1）锐角三角比的意义： 正切：． 余切：． 正弦：． 余弦：． （2）同角、余角、等角的锐角三角比的关系： i. 当为锐角时，，； ii. 当与互余时，，； iii. 当两个角为锐角，且相等时，那么他们的锐角三角比的值相等． 2、 利用锐角三角比解题的基本条件：将所用锐角放进直角三角形中． 3、 解题思路： 判定需要确定解析式的两条线段是否在同一个直角三角形中，若在，直接利用锐角三角比列比例式；如若不在，再去判定两条线段是否分别在两个直角三角形中，再找到两个三角形中相等的角，利用锐角三角比来确定比例式，从而求出解析式． 例题1.已知：的半径为5，点C在直径AB上，过点C作的弦DE⊥AB，过点D作直线 EB的垂线DF，垂足为点F，设AC = x，EF = y． （1）如图，当AC = 1时，求线段EB的长； （2）当点F在线段EB上时，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如果EF = 3BF，求线段AC的长． 【解析】（1）联结OD，在⊙O中，∵OC⊥DE，OC = OA-AC = 4，BC = AB-AC = 9． ∴CE = CD = ．BE = ． （2） 与（1）同理得：CE = CD =． BE=． ∵ DF⊥EB，∴cosE=．∴， ∴ y与x之间的函数解析式为，定义域为． （3）当点F在线段EB上时，∵EF = 3BF，∴EF = BE，得， 解得：（不符合题意），． 当点F在线段EB延长线上时，同理BE，． ∵EF = 3BF，∴EF =BE，得， 解得：（不符合题意），．∴线段AC的长为或． 【总结】本题主要考察圆背景下的线段间的数量关系，解题时注意利用相关定理． 例题2.在中，∠C = 90°，BC = 2，绕着点B按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB上的点D，设点A旋转后与点E重合，联结AE．过点E作直线EM与射线CB垂直，交点为M． （1）若点M与点B重合（如图1），求cot∠BAE的值； （2）若点M在边BC上（如图2），设边长AC = x，BM = y，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【解析】（1）当点与点重合，由旋转得： ，，，． ∵，∴，∴． ∴，∴． ∴．∴，∴．∴． （2）设与边交点为． 由题意可知：，，又， ∴．∵，∴， ∵，∴∽．∴． ∵，，∴，∴． 由题意可知：，，． ∴ ， ∴，定义域为． 【总结】本题主要考查直角三角形背景下的线段间的函数关系式的确定，注意对相似性质的 熟练运用． 模块二：利用勾股定理构造函数关系式 1、 解题思路： 判定需要确定解析式的两条线段是否在同一个直角三角形中，若在，直接利用勾股定理列出等式，求出函数解析式来；如若不在，再去判定两条线段是否分别在两个直角三角形中，利用已知条件分别表示出两条线段的长来，再根据线段之间的关系列出相应等式，从而求出解析式． 例题1.（2020虹口二模）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，cosC＝，DC＝5，BC＝6，以点B为圆心，BD为半径作圆弧，分别交边CD、BC于点E、F． （1）求sin∠BDC的值； （2）联结BE，设点G为射线DB上一动点，如果△ADG相似于△BEC，求DG的长； （3）如图2，点P、Q分别为边AD、BC上动点，将扇形DBF沿着直线PQ折叠，折叠后的弧D'F'经过点B与AB上的一点H（点D、F分别对应点D'，F'），设BH＝x，BQ＝y，求y关于x的函数关系式（不需要写定义域）． 【分析】 （1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题． （2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可． （3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题． 解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J． 在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3， ∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90° ∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，∴四边形ABKD是矩形， ∴AD＝BK＝3，∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4， ∵S△DCB＝•BC•DK＝•CD•BJ，∴BJ＝，∴DJ＝＝＝， ∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝， ∴sin∠BDC＝＝＝