专题11 直线与圆的位置关系问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题11 直线与圆的位置关系问题 模块一：直线与圆相切的存在性问题 1、 知识内容： （1） 如果的半径长为，圆心到直线的距离为，那么 直线与相交； 直线与相切； 直线与相离． （2） 切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． （3） 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． 2、 直线与圆相切的本质：两线段间的相等关系； 3、 解题思路： （1） 构造圆心到直线的距离； （2） 利用两点距离公式或者是几何图形的性质或者是动点的运动轨迹表示出垂线段的长； （3） 根据直线与圆相切的本质列出方程或者是等式，进行求解； （4） 根据题意对所求的解进行取舍． 例1.（2020杨浦二模）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝8，点P是射线AC上一点（不与点A、C重合），过P作PMAB，垂足为点M，以M为圆心，MA长为半径的⊙M与边AB相交的另一个交点为点N，点Q是边BC上一点，且CQ = 2CP，联结NQ. （1）如果⊙M与直线BC相切，求⊙M的半径长； （2）如果点P在线段AC上，设线段AP=x，线段NQ=y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）如果以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，求线段AP的长. 备用图 A C B 第25题图 Q P A C M B N 解析： （1） 解：，∵，， ∴………………………（1分） 设⊙M的半径长为R，则,过M作，垂足为点H，∴ ∵⊙M与直线BC相切，∴………………………………………（1分） ∵，∴，∴………………………………………（1分） ∴………………………………………（1分） 即. （2） ∵， ∴，∵， ∴， ∴，过Q作，垂足为点G， ∵，∴，∴，……………………………（1分） 同理：………………………………（1分） ∵，∴，∴， ∵，∴, ∴………………………………………（1分） ,∵,∴， ∴…………………………………（2分） （3）当点P在线段AC上，设以NQ为直径的⊙O与⊙M的另一个交点为点E，联结MO， 则…………………………………（1分） ∴ ∵以NQ为直径的⊙O与⊙M的公共弦所在直线恰好经过点P，即P、E、N在同一直线上， 又∵PMAB，MA=MN，∴PN=PA，∴, ∵∠ACB＝90°，∴，∴， 联结AQ，∵M、O分别是线段AN、NQ的中点，∴ ∴，∴，∴ ,∵,∴，∴………（2分） 同理：当点P在线段AC的延长线上，…………………………………（2分） 例2.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），抛物线的对称轴为直线l． （1）求这条抛物线的关系式，并写出其对称轴和顶点M的坐标； （2）如果直线经过C、M两点，且与x轴交于点D，点C关于直线l的对称点为N，试证明四边形CDAN是平行四边形； （3）点P在直线l上，且以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，求点P的坐标． 【解析】（1）抛物线经过点C（0，3），∴． 抛物线经过点A（-1，0）， ∴，解得：． ∴所求抛物线的关系式为 ． 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标M（1，4）； （2）直线经过C、M两点，点C（0，3），点M（1，4）， ∴，解得，∴直线CD的解析式为． ∴点D的坐标为（-3，0）．∴AD = 2． ∵点C关于直线l的对称点为N，∴点N的坐标为（2，3）．∴CN = 2 =AD． 又∵CN // AD，∴四边形CDAN是平行四边形． （3）过点P作PH⊥CD，垂足为点H． ∵ 以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，∴PH = AP，即：． 设点P的坐标为（1，t），∴，． ∵在Rt中，点D的坐标为（-3，0），点M的坐标为（1，4）， ∴DE = ME = 4．∴∠DME = 45º．∴． 即得：．∴ 解得：． ∴点P的坐标为（1，）或（1，）． 【总结】本题综合性较强，考查了二次函数的性质、待定系数法的运用以及平行四边形的判定和直线与圆相切的相关运用，解题时注意灵活运用相关性质． 例3.如图，点A（，0），B（，0），点C在y轴的正半轴上，且∠CBO = 45°，CD // AB，∠CDA = 90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒． （1）求点C的坐标； （2）当∠BCP = 15°时，求t的值； （3）以点P为圆心，PC为半径的随点P的运动而变化，当与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值． 【解析】（1）， ． 又点C在y轴的正半轴上 点C的坐标为（0，3）； （2）当∠BCP = 15°时，分两种情况讨论： ①当点P在点B右侧时（如图1）， 若∠BCP