高考中切线（含导数、解析几何）的八种典型试题解题方法导引

高考中切线（含导数、解析几何）的八种典型试题解题方法导引 用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题，以及应用切线解决最值，方程的根等问题。 研究切线问题要充分挖掘题中隐藏信息，切点往往有多重性，主要体现： （1）在函数上 （2）在切线上 （3）导数求斜率 （4）两点斜率公式求斜率 题型一：某点处的切线 1．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____． 【答案】2 【方法导引】 根据导数几何意义以及图象得,即得结果. 【解析】 由图像的信息可知． 2．设函数，若函数的图象在处的切线与直线垂直，则的最小值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【方法导引】 求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，的关系式，再由基本不等式可得所求最小值． 【解析】 解：函数的导数为， 可得函数的图象在处的切线斜率为， 由切线与直线垂直，可得，， 则， 当且仅当即时，取得等号， 则的最小值为， 故选：． 3．已知函数是定义域为R的偶函数，且当时，，则曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【方法导引】 方法一：根据切点处导数的几何意义即可求得处的切线方程的斜率，进而写出切线方程，结合偶函数的对称性即可得处的切线方程；方法二：由偶函数结合已知区间的解析式求时解析式，应用切点处导数的几何意义求得处的切线方程的斜率，写出切线方程即可. 【解析】 法一： 当时，，则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 根据对称性．可得曲线在点处的切线方程为． 法二： 当时，，所以，又是偶函数， 所以，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故选：B． 【求切线方程方法导引】 1、方法一：首先求已知区间内对称点的切线方程，根据偶函数对称性求目标点处的切线方程. 2、方法二：首先求目标点所在区间的函数解析式，再求目标点处的切线方程. 4．已知定义在上的单调函数，对任意的，都有，则函数的图象在处的切线的倾斜角为________. 【答案】 【方法导引】 设，则，求得的值，进而得到的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【解析】 设，则. 因为为单调函数，故不随的变化而变化即是常数. 又，，，， ，，，切线斜率为1， 所以倾斜角为. ∴答案为:. 5．曲线在处的切线与直线平行，则的最小值为____________. 【答案】4 【方法导引】 根据导数的几何意义求出曲线在处的切线的斜率，两直线平行则斜率相等列出等式，再对利用均值不等式即可得解. 【解析】 曲线的导数为， 则曲线在处的切线的斜率 两直线平行则， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：4 6．已知曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【方法导引】 先求出两条切线各自的斜率，再根据它们垂直得到的关系，将表示为的函数后利用导数可求的取值范围. 【解析】令，， 则，，所以，， 因为，故，所以， 因为，故. 又，令， 则， 当时，为减函数，故， 所以在上恒成立， 故在上为减函数，所以， 又当时，， 所以的取值范围为， 故选：B. 题型二：过一点的切线 在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即为切点,而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点,有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别． 过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤 (1)设切点为Q(x0，y0). (2)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f ′(x0). (3)利用Q在曲线上，点P(x1，y1)在切线上和 f ′(x0) =kPQ，解出x0，y0及f ′(x0). (4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y-f(x0)=f ′(x0)·(x-x0) 1．已知函数． （1）求； （2）求曲线过点的切线的方程． 【方法导引】 （1）利用函数的求导法则可求得； （2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程. 【解析】 （1），则； （2）设切点为， ，所以，切线的斜率为， 所求切线方程为． 将，代入切线方程，得． 整理得，解得或. 当时，， 切线方程为，化简得； 当时，，切线方程为，化简得． 综上所述，曲线过点的切线的方程为或． 2．过原点作曲线的切线，则切点为__