专题05 注意数列中的几处陷阱-2020-2021学年高中数学之数列解题技法全指导

注意数列中的几处陷阱 在数列中有多处陷阱，只有把它们找出来，很好地归纳总结，才能避免在考场上不至于掉进陷阱，确保取得优异成绩。现归纳如下： 一、由求 例1.设数列的前n项和,求数列的通项公式。 二、利用等差（比）数列的性质：若为等差（比）数列，则前n项和也成等差（比）数列解题。 例2.已知等差数列的前n项和为，若，求。 三、等差数列由和的比求项的比 例3.等差数列的前n项和分别为，若，求。 四、利用等比数列求和公式 例4.已知等比数列中，。 五、证明等差（比）数列 证明等差（比）数列时，要注意验证前两项。 例5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．求数列{an}的通项公式； 六、错位相减法求和 用错位相减法求和时，求等比数列的和要注意项数，再就是两式相减后最后一项前面的符号。 例6.求数列前n项的和。 小试牛刀 1.已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2) ． 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．42 3．已知等比数列{an}的前n项和是Sn，S5＝2，S10＝6，则a16＋a17＋a18＋a19＋a20等于(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 4.已知数列满足，，求的通项公式。 5．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 6.求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)·xn－1. 7.【2015高考山东，理18】设数列的前n项和为.已知. （I）求的通项公式； （II）若数列满足，求的前n项和. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 注意数列中的几处陷阱 在数列中有多处陷阱，只有把它们找出来，很好地归纳总结，才能避免在考场上不至于掉进陷阱，确保取得优异成绩。现归纳如下： 一、由求 例1.设数列的前n项和,求数列的通项公式。 错解: 。 正解：当时，。当时， 。因此数列的通项公式为。 错因分析：由求时，必须考虑条件，因为时，无意义。 二、利用等差（比）数列的性质：若为等差（比）数列，则前n项和也成等差（比）数列解题。 例2.已知等差数列的前n项和为，若，求。 错解：∵是等差数列，∴也成等差数列， 。 正解：∵是等差数列，也成等差数列，即成等差数列，。 错因分析：由是等差数列，得出也成等差数列是错误的。 三、等差数列由和的比求项的比 例3.等差数列的前n项和分别为，若，求。 错解：，∴设，。 正解：。 错因分析：对等差数列前n项和的结构特征认识模糊，容易导致错误，如设 是错误的，等差数列前n项和是n的二次函数。 四、利用等比数列求和公式 例4.已知等比数列中，。 错解：依题意有，解之，得。 正解：当时，，此时正好有,适合题意。 当时，依题意有，解之，得。 综上，得。 错因分析：等比数列前n项和公式中一定要考虑公式使用条件或，否则导致错误。 五、证明等差（比）数列 证明等差（比）数列时，要注意验证前两项。 例5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．求数列{an}的通项公式； 错解：由已知，得an＋1＝an。。∴数列{an}是以为首项a1＝1，以为公比的等比数列．。故数列{an}的通项公式为。 正解：由已知(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)．又a2＝S1＝a1＝， 。∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列． ∴an＝a2×()n－2(n≥2)．∴an＝。 错因分析：没有注意出现的前提是，故此时证明等差（比）数列时，要注意验证前两项。 六、错位相减法求和 用错位相减法求和时，求等比数列的和要注意项数，再就是两式相减后最后一项前面的符号。 例6.求数列前n项的和。 错解：①， ②，① ②得， ， 。 正解：①， ②，① ②得， ， 。 错因分析：求等比数列的和时，应是项的和，错误地弄成了项的和。 小试牛刀 1.已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式：(1)Sn＝2n2－3n；(2) ． 1.解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5． (2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1=4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2