专题04 数列求和的方法大全-2020-2021学年高中数学之数列解题技法全指导

数列求和的方法大全 数列求和是数列部分的重要内容，并且规律性很强，故有必要对其进行归纳总结一下： 一、公式法 遇到数列求和时，先判断该数列是否为等差或等比数列，若是则用相应的求和公式，若不是再考虑其他方法。 例1.求和：，其中,是不为0的常数，且。 变式.等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________. 二、分组求和法 对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和。 例2.求和：。 变式. 求数列前n项的和。 三、错位相减法 对于求数列，其中一个为等差数列，另一个为等比数列，可考虑用错位相减法求和。 例3.求数列的前n项和。 变式. .求数列前n项和。 四、裂项相消法 需要掌握一些常见的裂项方法： （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） ⑷ 例4.求数列的前n项和。 变式.求数列前n项的和。 五、并项求和法 一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解． 例5.求 变式.若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝ A．15 B．12 C．－12 D．－15 小试牛刀 1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　) A.或5 B.或5 C. D. 2．数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项之和为(　　) A．2n－1 B．n·2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2 3．已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和为(　　) A．4 B．4 C．1－ D.－ 4.已知 =+++…+,若=10,则m=(　) A.11 B.99 C.120 D.121 5．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S17＝________. 6．设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1＝b1＝1，a3＋b5＝19，a5＋b3＝9，则数列{anbn}的前n项和Sn＝__________. 7．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn. 8．已知数列{an}满足an＝试求其前n项和． 9．已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n(n∈N＋)． (1)设bn＝，证明：数列{bn}为等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 数列求和的方法大全 数列求和是数列部分的重要内容，并且规律性很强，故有必要对其进行归纳总结一下： 一、公式法 遇到数列求和时，先判断该数列是否为等差或等比数列，若是则用相应的求和公式，若不是再考虑其他方法。 例1.求和：，其中,是不为0的常数，且。 解：因为该和为首项是，公比为的等比数列前项的和， 所以原式。 变式.等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________. 2. (4n－1) 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1， 又∵a1＝1适合上式．∴an＝2n－1，∴a＝4n－1.∴数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)． 二、分组求和法 对于求数列的和，其中为等差或等比数列，可考虑用拆项分组法求和。 例2.求和：。 分析：该数列为两个数列的差，其中为等差数列，为等比数列，故可用拆项分组法求和法。 解：原式 。 变式. 求数列前n项的和。 解： 。 三、错位相减法 对于求数列，其中一个为等差数列，另一个为等比数列，可考虑用错位相减法求和。 例3.求数列的前n项和。 分析：该数列为两个数列的积，其中为等差数列，为等比数列，故可考虑用错位相减法求和。 解：①， ②， ①-②得， 。 点评：注意两式相减后，最后一项的符号，再就是等比数列求和时的项数，是n项，还是n-1项。 变式. .求数列前n项和。 解：①， ②，① ②得， ， 。 四、裂项相消法 需要掌握一些常见的裂项方法： （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） ⑷ 例4.求数列的前n项和。 解： 。 变式.求数列前n项的和。 解：∵， 。 五、并项求和法 一个数列的前