专题09 动态问题中的三角形面积题型全解-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（河南专用）

专题09 动态问题中的三角形面积题型全解 【核心提示】 1. 平面直角坐标系内点A（X，YA）、B（X，YB），如图所示，则AB=YA－YB 平面直角坐标系内点A（XA，Y）、B（XB，Y），如图所示，则AB=XB－XA 2. 三角形面积计算方法 A、B为顶点，P为坐标系内与A、B不在同一直线上的任意一点. △PAB面积为S. （1）割补法 S=S梯形PHOB-S△PAH-S△OAB （2）铅垂高、水平宽法 S=·PD·OB（PD为铅垂高，OB为水平宽） ★★此图有下面的变形 S=·PD·OA （3）直接法→可转化为（2）法 S=·PH·AB，由∠DPH=∠ABO，得cos∠DPH=cos∠ABO S=·PH·AB=·（PD·cos∠DPH） ·（） =·PD·OB （4）两三角形等底等高时，三角形面积相等 过P作PH∥AB，交y轴于H，易知四边形PHAD为平行四边形，PD=AH， S=S△PAB=S△ABH =·AH·OB=·PD·OB. 此图也说明了，点P在坐标系内任意一点（不在直线AB上）△PAB面积使用铅垂高、水平宽的准确性. 【考点1：线段最值】 【例1】【2020·山东烟台】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标. 【变式1-1】【2020·四川凉山州】如图，二次函数的图象过、、，三点． （1）求二次函数的解析式； （2）若线段的垂直平分线与轴交于点，与二次函数的图象在轴上方的部分相交于点，求直线的解析式； （3）在直线下方的二次函数的图象上有一动点，过点作轴，交直线于，当线段的长最大时，求点的坐标． 【例2】【2020·贵州铜仁】如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值； 【变式2-1】【2020·四川眉山】如图1，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点坐标为，点坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）如图2，点为该抛物线的顶点，直线轴于点，在直线上是否存在点，使点到直线的距离等于点到点的距离？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 【例3】【2020·湖北襄阳】如图，直线yx+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线yx2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式； （2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 【变式3-1】【2020·重庆B】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（，0），直线BC的解析式为yx+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标. 【例4】【2020·湖南湘西州】已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标； （2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQMS△ACE时，求m的值. 【变式4-1】【2020·湖南郴州】如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点． （1）求抛物线和直线BC的表达式； （2）点P是抛物线上的一个动点． 如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值； 图1 1.【2020·重庆A卷】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中，. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求