专题06 圆锥曲线中的定值问题-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题06 圆锥曲线中的定值问题 一、单选题 1．过原点的直线与双曲线交于A,B两点，点P为双曲线上一点，若直线PA的斜率为2，则直线PB的斜率为（ ） A．4 B．1 C． D． 二、多选题 2．已知椭圆的离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边，，的中点分别为，，，且三条边所在直线的斜率分别，，，且，，均不为0．为坐标原点，则（ ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．直线与直线的斜率之积为 D．若直线，，的斜率之和为1，则的值为 3．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ） A．为定值 B．直线过抛物线的焦点 C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4 三、解答题 4．已知点到的距离是点到的距离的2倍. （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，点，求的最大值； （3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值?若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由. 5．已知，为椭圆的左､右焦点，点在椭圆上，且过点的直线交椭圆于，两点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）对于椭圆，问否存在实数，使得成立，若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 6．已知椭圆的离心率为，的面积为 （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值. 7．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k1，k2． （1）证明：k1·k2为定值； （2）过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且，求|AB|． 8．已知双曲线的方程. （1）求点到双曲线C上点的距离的最小值； （2）已知圆的切线(直线的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?如果是，求出定值；如果不是，请说明理由. 9．已知抛物线的焦点F恰为椭圆的一个顶点，且抛物线的通径（过抛物线的焦点F且与其对称轴垂直的弦）的长等于椭圆的两准线间的距离. （1）求抛物线及椭圆的标准方程； （2）过点F作两条直线，，且，的斜率之积为. ①设直线交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，求的值； ②设直线，与椭圆的另一个交点分别为M，N.求面积的最大值. 10．设抛物线，为的焦点，过的直线与交于两点. （1）设的斜率为，求的值； （2）求证：为定值. 11．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切. (1)求动圆圆心的轨迹的方程. (2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 12．已知椭圆经过点，且右焦点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值. 13．已知椭圆C：()的离心率为，短轴一个端点到右焦点F的距离为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设，，试判断是否为定值？请说明理由. 14．如图，在平面直角坐标系中，已知，分别是椭圆E： 的左、右焦点，A，B分别椭圆E的左、右顶点，且． （1）求椭圆E的离心率； （2）已知点为线段的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值； （3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为.试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由. 16．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2，1)，P是动点，且 （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）过A作斜率为1的直线与轨迹C相交于点B，点T(0，t)(t>0)，直线AT与BT分别交轨迹C于点设直线的斜率为k，是否存在常数λ，使得t=λk，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由. 17．已知P为圆：上一动点，点坐标为，线段的垂直平分线交直线于点Q. （1）求点Q的轨迹方程； （2）已知，过点作与轴不重合的直线交轨迹于两点，直线分别与轴交于两点.试探究的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由. 18．已知在平面直角坐标系中，圆与轴交于，两点，点 在第一象限且为圆外一点，直线，分别交圆于点，，交轴于点，． （Ⅰ）若直线的倾斜角为60°，，求点坐标； （Ⅱ）过作圆的两条切线分别交轴于点，，试问是否为定值？若是，求出这个定值：若不是，说明理由． 19．在平面直角坐标