专题05 圆锥曲线中的定点问题-2021年新高考数学难点解题方法突破（新高考专用）

专题05 圆锥曲线中的定点问题 一、多选题 1．设A，B是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（ ） A．若，则 B．若，直线AB过定点 C．若，到直线AB的距离不大于1 D．若直线AB过抛物线的焦点F，且，则 2．设是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为（ ） A．为定值 B．直线过抛物线的焦点 C．最小值为16 D．到直线的距离最大值为4 二、单选题 3．已知直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D．且 三、解答题 4．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点M(2，m)(m＞0)在抛物线上，且|MF|＝2. （1）求抛物线C的方程； （2）若点P(x0，y0)为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上. 5．已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2. （1）求E的方程； （2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点. 6．已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线.，O为坐标原点，过点A的动直线交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图: （1）若△POM的面积为 ，求向量与的夹角； （2）证明:直线PQ恒过一个定点. 7．设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 8．已知抛物线经过点 （1）求抛物线的方程及其相应准线方程； （2）过点作斜率为的两条直线分别交抛物线于和四点，其中.设线段和的中点分别为过点作垂足为证明：存在定点使得线段长度为定值. 9．设、分别是椭圆C：的左、右焦点，，直线过且垂直于x轴，交椭圆C于A、B两点，连接A、B、，所组成的三角形为等边三角形. （1）求椭圆C的方程； （2）过右焦点的直线m与椭圆C相交于M、N两点，试问：椭圆C上是否存在点P，使成立？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 10．设椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）设左、右顶点分别为、，点在椭圆上（异于点、），求的值； （3）过点作一条直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足为.试问：直线与是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由. 11．在平面直角坐标系中，动点到点的距离和它到直线的距离的比是常数 （1）求动点的轨迹方程； （2）若过点作与坐标轴不垂直的直线交动点的轨迹于两点，设点关于轴的对称点为，当直线绕着点转动时，试探究：是否存在定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系xOy中，有三条曲线：①；②；③.请从中选择合适的一条作为曲线C，使得曲线C满足：点F(1，0)为曲线C的焦点，直线y=x-1被曲线C截得的弦长为8. （1）请求出曲线C的方程； （2）设A，B为曲线C上两个异于原点的不同动点，且OA与OB的斜率之和为1，过点F作直线AB的垂线，垂足为H，问是否存在定点M，使得线段MH的长度为定值?若存在，请求出点M的坐标和线段MH的长度；若不存在，请说明理由. 13．.已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； 14．已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线交椭圆于､两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标. 15．已知椭圆：的离心率为，且经过点， （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在直线上且不在x轴上，直线与椭圆E的交点分别为A、B，直线与椭圆E的交点分别为C、D． （1）设直线、的斜率分别为、，求的值 （2）问直线m上是否点P，使得直线OA，OB，OC，OD的斜率，，，满足若存在，求出所有满足条件的点P的坐标若不存在，请说明理由. 17．已知直线l：x=my+1过椭圆C：b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的右焦点F，且交椭圆C于A､B两点，点A､B在直线G：x=a2上的射影依次为点D､E. （1）若，其中O为原点，A2为右顶点，e为离心率，求椭圆C的方程； （2）连接AF，BD，试探索当m变化时，直线AE，BD是否相交于一定