黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三上学期第四次月考数学（理）试题+PDF版含答案

理数第 1页（共 2页） 非选择题（90 分） 13 14 15 16 17（12 分） 18 （12 分） 19（12 分） 20（12 分） 1 5  9  2 6  10  3 7  11  4 8  12   哈尔滨市第九中学 2021 届高三上学期 第四次月考（数学理科）答题卡 选择题(60 分) 姓 名 准考证号 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，将条形码准确的粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书 写，字体工整、字迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 填涂样例 正确填涂： 错误填涂：   条码粘贴区 去角 理数第 2页（共 2页） 21（12 分） 请考生在 22□、23□题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分（本题满分 10 分） 请 勿 在 此 区 域 内 作 答 $ 第 1页（共 2 页） 高三数学上学期第四次月考答案 第一部分 1---6 CB A B D B 7---12. C C DC DA 第二部分 13. 1 2 ，1 14. �㓨᚟ �� 15. �㢨 㓨 ᚟�끄 㓨 �ዮ 쥰 ዮ 或 㢨 쥰ᚮ ⳏ 16. ᚮ ᚟ 第三部分 17. （1） �᚟ 쥰 � � ᚮ ᚟ 쥰 �� ᚮ ⳏ� 㓨 �，�� 쥰 � � 㓨 ᚟ 쥰 �� 㓨 �， 又由 �� 쥰 �᚟ 㓨 ��，可得 � 쥰 �，所以，�᚟ 쥰 �，�� 쥰 �� 㓨 ᚟． （2） �� 쥰 � �㓨��㓨᚟ � 쥰 � � 㓨 � ， ᚟ �� 쥰 ᚟ � �㓨� 쥰 ᚟ � ᚟ � ᚮ ᚟ �㓨� ， 所以， ᚟ �᚟ 㓨 ᚟ �� 㓨 � 㓨 ᚟ �� 쥰 ᚟ � ᚟ ᚮ ᚟ � 㓨 ᚟ � ᚮ ᚟ ⳏ 㓨 ᚟ � ᚮ ᚟ � 㓨 � 㓨 ᚟ � ᚮ ᚟ �㓨� 쥰 ᚟ � ᚟ 㓨 ᚟ � ᚮ ᚟ �㓨᚟ ᚮ ᚟ �㓨� 쥰 ᚟ � � � ᚮ ᚟ �㓨᚟ ᚮ ᚟ �㓨� � ᚟ � � � ᚮ ᚟ ᚟㓨᚟ ᚮ ᚟ ᚟㓨� 쥰 ᚟ � � 18. （1）在 � �ᚮ 中， 因为 � tan� 㓨 tan 쥰 ��tan，所以 � sin� cos� 㓨 sin cos 쥰 �� sin cos ， 所以 �sinᚮ 쥰 ��sincos�，所以 �� 쥰 ���cos�， 所以 cos� 쥰 � � ．所以 A= 4  （2）因为 ᚮ 边的中线长为 ᚟， 所以 �� ���� 㓨 �ᚮ� ��� 쥰 �， 所以 �� 㓨 �� 㓨 ���cos� 쥰 ⳏ，即 �� 㓨 �� 쥰 ⳏ ᚮ ��� � ���， 解得 �� � ⳏ ᚮ � �． 所以 �� 쥰 �� ���� ᚮ �ᚮ� ��� � 쥰 �� 㓨 �� ᚮ ���cos� 쥰 ⳏ ᚮ � ��� � ⳏ ᚮ � � ⳏ ᚮ � � 쥰 ᚟� ᚮ � �� 所以 � 的最小值为 ᚟� ᚮ � � 쥰 � � ᚮ �． 19. （1） 如图，由已知得四边形 �ᚮⳏ 是直角梯形， 由 �ⳏ 쥰 ᚮⳏ 쥰 � �，ᚮ 쥰 ⳏ �， 可得 � �ᚮ 是等腰直角三角形，即 � � �ᚮ， 因为 �� � 平面 �ᚮⳏ，� � 平面 �ᚮⳏ， 所以 �� � �，又 �� � �ᚮ 쥰 �， 所以 � � 平面 ��ᚮ，又 �ᚮ � 平面 ��ᚮ， 所以 � � �ᚮ． （2） 取 ᚮ 的中点 �，连接 ��，�� � ᚮ． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 � ዮǡዮǡዮ ，ᚮ � �ǡ� �ǡዮ ，ⳏ ዮǡ� �ǡዮ ，� ዮǡዮǡ� ， � �ǡ ᚮ � �ǡዮ ， �ⳏ� ���� 쥰 ዮǡ� �ǡ ᚮ � ，�ᚮ� ��� 쥰 � �ǡ� �ǡዮ ． 设 ��� ���� 쥰 ��ⳏ� ���� ዮ ൏ � ൏ ᚟ ，则点 � 为 ዮǡ� ��ǡ� ᚮ �� ， 所以 ��� ���� 쥰 ዮǡ� ��ǡ� ᚮ �� ． 设平面 ��ᚮ 的法向量是 ��� 쥰 㢨ǡ끄ǡ� ， 则 ��� � �ᚮ� ��� 쥰 ዮǡ ��� � ��� ���� 쥰 ዮǡ 得 � �㢨 㓨 � �끄 쥰 ዮǡ � ��끄 㓨 � ᚮ �� � 쥰 ዮǡ 则可取 ��� 쥰 ᚟ǡ ᚮ ᚟ǡ ��