专题15 代数计算及通过代数计算进行说理问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题15 代数计算及通过代数计算进行说理问题 （1）压轴题中的代数计算题，主要是以二次函数为背景的代几综合题； （2）常用的方法是通过待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成，一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标； （3）这类题目中，代数计算的运用主要是利用图形之间（主要是线段之间）的数量关系建立方程，然后求解． 例1.（2020上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A． （1）求线段AB的长； （2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=，求这条抛物线的表达式； （3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围． 【答案】（1）5；（2）y=﹣x2+x；（3）﹣＜a＜0． 【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，-m+5），则BC=|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论． 【详解】（1）针对于直线y=﹣x+5， 令x=0，y=5，∴B(0，5)， 令y=0，则﹣x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)， ∴AB==5； （2）设点C(m，﹣m+5)． ∵B(0，5)，∴BC==|m|． ∵BC=，∴|m|=，∴m=±2． ∵点C在线段AB上，∴m=2，∴C(2，4)， 将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得， ∴，∴抛物线y=﹣x2+x； （3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0， ∴b=﹣10a，∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a， ∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)， 将x=5代入y=﹣x+5中，得y=﹣×5+5=， ∵顶点D位于△AOB内，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键． 例2.（2019上海中考真题）在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y＝x2－2x，其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点” ①试求抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2－2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式. 【答案】(l)抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1. 【分析】（1），故该抛物线开口向上，顶点的坐标为； （2）①设抛物线“不动点”坐标为，则，即可求解；②新抛物线顶点为“不动点”，则设点，则新抛物线的对称轴为：，与轴的交点，四边形是梯形，则直线在轴左侧，而点，点，则，即可求解. 【详解】(l)， 抛物线y＝x2－2x的开口向上，顶点A的坐标是(1，－1)， 抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的. (2)①设抛物线y＝x2－2x的“不动点”坐标为(t，t). 则t＝t2－2t，解得t1＝0，t2＝3. 所以，抛物线y＝x2－2x的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3). ②∵新抛物线的顶点B是其“不动点”，∴设点B的坐标为(m，m) ∴新抛物线的对称轴为直线x＝m，与x轴的交点为C(m，0) ∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧. ∵BC与OA不平行 ∴OC∥AB. 又∵点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，m＝－1. ∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的， ∴新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1. 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可. 例3.已知在平面直角坐标系xoy（如图）中，抛物线与x轴交于点A（，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E． （1）求该抛物线解析式； （2）联结BC，当P点坐标为（0，）时，求的面积； （3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标． 【解析】（1）∵抛物线交轴于点A（，0）与点C（3，0）， ∴ 解得