第18讲 导数的概念与运算-【艺考一本通】2021高考数学一轮+冲刺(通用版)

32 4.C 【解析】 因为函数 f(x)=2x- -a 在区间(1,2)上单调递增,又函数 f(x)=2 x - -a 的一个零点在区间(1,2)内,则 有 f(1)·f(2)<0,所以(-a)(4-1-a)<0,即 a(a-3)<0.所以 0<a<3. 5.D 【解析】 当 x>0 时,f(x)=3x-1 有一个零点 x= ,所以只需要当 x≤0 时,e x +a=0 有一个根即可,即 e x =-a.当 x≤0 时,e x ∈(0,1],所以-a∈(0,1],即 a∈[-1,0). 6.2 【解析】 因为 f(x)在(0,+∞)上单调递增,且 f(2)=-1+ln 2<0,f(3)=2+ln 3>0,所以函数 f(x)的零点位于区间 (2,3)内,故 n=2. 7.[5,10) 【解析】 令函数 f(x)=2x+3x-k,则 f(x)在 R 上是增函数. 当方程 2 x +3x=k 的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0, 解得 5<k<10.当 f(1)=0 时,k=5. 8.(-∞,1) 【解析】 设函数 f(x)=x2+mx-6,则根据条件有 f(2)<0,即 4+2m-6<0,解得 m<1. 9.(-1,0) 【解析】 关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不同的实数根,等价于函数 f(x)与函数 y=k 的图象有三个不同 的交点,作出函数 f(x)的图象如图所示,由图可知实数 k 的取值范围是(-1,0). 10.[1,+∞) 【解析】 f(x)=2ax 2 +2x-3-a 的对称轴为 x=- ①当- -1,即 0<a 时,需使 即 所以无解. ②当-1<- <0,即 a> 时,需使 即 解得 a≥1,所以 a 的取值范围是[1,+∞). 第 18 讲 导数的概念与运算 【典例变式】 变式训练一 1.解:(1)y'= '= (2)∵y=sin 2 (1-cos x) = cos x ∴y'=- (cos x)'=- (-sin x)= sin x. 变式训练二 1.A 【解析】 ∵f(x)=xln x+a,∴f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=1,f(1)=a,∴切线方程为 y=x-1+a,∴0=0-1+a,解得 a=1.故选 A. 2.1+ln 2 【解析】 由 y=xln x 得,y'=ln x+1.设直线 y=kx-2 与曲线 y=xln x 相切于点 P(x0,y0),则切线方程为 y- y0=(ln x0+1)(x-x0),又直线 y=kx-2 恒过点(0,-2),所以点(0,-2)在切线上,把(0,-2)以及 y0=x0ln x0 代入切线方程,得 x0=2,故 P(2,2ln 2).把(2,2ln 2)代入直线方程 y=kx-2,得 k=1+ln 2. 3.y-3=0 【解析】 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,即 f'(3)=- 又因为 g(x)=xf(x),所以 g'(x)=f(x)+xf'(x),g'(3)=f(3)+3f'(3),由题图可知 f(3)=1,所以 g(3)=3f(3)=3,g'(3)=1+3 =0.则曲线 g(x)在 x=3 处的切线方程为 y-3=0. 变式训练三 33 1.【解析】 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= -a(x>0), ①当 a≤0 时,f'(x)= -a>0, 即函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当 a>0 时,令 f'(x)= -a=0,可得 x= , 当 0<x< 时,f'(x)= >0; 当 x> 时,f'(x)= <0, 故函数 f(x)在 上单调递增,在 上单调递减. 由①②知,当 a≤0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当 a>0 时,f(x)在 上单调递增,在 上单调递减. 2.C 【解析】 ∵f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x+4+ ,∵f(x)在(1,2)上