第13讲 等差数列与等比数列-【艺考一本通】2021高考数学一轮+冲刺(通用版)

20 2.【解析】 (1)在△BCD 中,S= BD·BC·sin∠CBD= ,∵BC=2 ,BD=3+ ,∴sin∠CBD= ABC 为锐 角,∴∠CBD=30°.在△BCD 中,由余弦定理得 CD 2 =BC 2 +BD 2 -2BC·BD·cos∠CBD=(2 ) 2 +(3+ ) 2 - 2×2 (3+ ) =9,∴CD=3. (2)在△BCD 中,由正弦定理得 ,即 ,解得 sin∠BDC= BC<BD,∴∠BDC 为 锐角,∴cos∠BDC= 在△ACD 中,由正弦定理得 ,即 在△ABC 中,由正 弦定理得 ,即 AC 平分∠BAD,∴∠CAD=∠BAC.由①②得 ,解得 sin∠ABC= ABC 为锐角,∴∠ABC=45°. 【基础训练】 1.B 【解析】 △ABC 三边 a=3,b=4,c=5,则 cos A= 2.D 【解析】 ∵△ABC 的面积 S= absin 120°,∴ab=15,又 a=3,∴b=5.∴c 2 =a 2 +b 2 -2abcos C=3 2 +5 2 - 2×3×5cos 120°=49,∴c=7. 3.B 【解析】 由题意 sin A>sin B 及正弦定理可得,a>b,A>B.∴A,D 选项正确. 对于 B 选项:sin 2A=2sin Acos A,sin 2B=2sin Bcos B, ∵π>A>B>0, 设 A=60°,B=45°, 则 sin 2A<sin 2B,故 B 不对. 对于 C:cos 2A=1-2sin 2 A, cos 2B=1-2sin 2 B, ∵sin A>sin B>0∴cos 2A<cos 2B. ∴C 正确.故选 B. 4.B 【解析】 由正弦定理得 ,即 ,解得 sin B=1,∴B=90°,∴△ABC 是直角三角 形,C=30°.故符合条件的三角形只有 1 个. 5.C 【解析】 由 b2=a2+c2+ac,得到 a2+c2-b2=-ac,所以根据余弦定理得:cos B= =- , ∵B∈(0,180°), 则∠B=120°. 6.B 【解析】 由正弦定理及 =1,得 =1,整理可得 a 2 +b 2 -c 2 =ab,由余弦定理得 cosC= ,又 C∈(0,π),所以 C= 故选 B. 7.A 【解析】 ∵acos A=bsin B,∴由正弦定理得 sin Acos A=sin Bsin B,∴sin Acos A+cos2 B=sin2 B+cos2 B=1. 8.A 【解析】 因为 sin A=2sin Bcos C,所以 sin (B+C)=2sin Bcos C,所以 sin Bcos C-sin Ccos B=0,即 sin (B- C)=0,因为 A,B,C 是三角形内角,所以 B=C.因此三角形为等腰三角形. 9.45° 【解析】 由三角形的面积公式得:S= absin C,而 S= (a 2 +b 2 -c 2 ),所以 absin C= (a 2 +b 2 -c 2 ),即 sin C= =cos C,则 sin C=cos C,即 tan C=1,又∠C∈(0,180°),则∠C=45°. 10.【解析】 (1)因为 a=3c,b= ,cosB= ,由余弦定理 cosB= ,得 ,即 c 2 = 所以 c= (2)因为 ,由正弦定理 ,得 ,所以 cosB=2sinB.从而 cos 2 B=(2sinB) 2 ,即 cos