第12讲 正弦定理、余弦定理及解三角形-【艺考一本通】2021高考数学一轮+冲刺(通用版)

19 10.解:(1)因为 tanα= ,tanα= ,所以 sinα= cosα. 因为 sin 2 α+cos 2 α=1,所以 cos 2 α= , 因此,cos2α=2cos 2 α-1=- (2)因为 α,β 为锐角,所以 α+β∈(0,π). 又因为 cos(α+β)=- ,所以 sin(α+β)= ,因此 tan(α+β)=-2. 因为 tanα= ,所以 tan2α= =- , 因此 tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]= =- 第 12 讲 正弦定理、余弦定理及解三角形 【典例变式】 变式训练一 1.C 【解析】 由 3sinA=2sinC 及正弦定理,得 3a=2c,设 a=2k(k>0),则 c=3k.由余弦定理,得 cosC= =- ,解得 k=3 或 k=- (舍去),从而 a=6.故选 C. 2.C 【解析】 依题意,知(b+c)sinB=(a+c)(sinA-sinC),由正弦定理,得(b+c)b=(a+c)·(a-c),即 b2+c2-a2=-bc.由余弦 定理,得 cosA= =- ,所以 A=120°.故选 C. 3.1 【解析】 因为 sin B= 且 B∈(0,π),所以 B= 或 B= 又 C= ,B+C<π, 所以 B= ,A=π-B-C= 又 a= ,由正弦定理得 ,即 ,解得 b=1. 变式训练二 1.B 【解析】 由 sin2B=2sin Asin C 及正弦定理,得 b2=2ac①,又 B= ,所以 a 2 +c 2 =b 2 ②,联立①②解得 a=c= , 所以 =3,故选 B. 2.【解析】 (1)由已知得 2sin(π-B)+ cos2B=4sinBcos 2 ,即 2sinB+ cos2B=4sinBcos 2 ,2sinB(1- 2cos 2 )+ cos2B=0,即-2sinBcosB+ cos2B=0,即 sin2B= cos2B,所以 tan2B= 因为 0<B< ,所以 0<2B<π,所 以 2B= ,解得 B= (2)由(1)知,B= ,△ABC 的面积 S= acsinB= ac·sin ac= ,整理得 ac=3 ,由 b= 及余弦定理 b 2 =a 2 +c 2 - 2accosB,得( ) 2 =a 2 +c 2 -2accos =a 2 +c 2 - ac,整理得 a 2 +c 2 - ac=3,所以(a+c) 2 =12+6 ,即 a+c=3+ ,故△ABC 的周长 l=b+a+c= +3+ =3+2 变式训练三 B 【解析】 由 2acosB=c 及正弦定理,得 2sinAcosB=sinC.在△ABC 中,因为 sinC=sin(A+B),所以 2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB,整理得 sin(A-B)=0,又 A,B∈(0,π),所以 A=B.因为 sinAsinB(2-cosC)=sin 2 ,所 以 sinAsinB =sin 2 ,即 sinAsinB ,所以 sinAsinB= 又 A=B, 且 A,B∈(0,π),所以 A=B= ,所以 C=π-A-B= ,所以△ABC 是等腰直角三角形.故选 B. 变式训练四 1.2 -1 【解析】 在△BCD 中,由余弦定理可得 BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC·CD·cos∠BCD=1+4-2×1×2 =4,则 BD=2.在△ABD 中,∠BAD=180°-30°-45°=105°,sin105°=sin(45°+60°)= ,由正 弦定理可得 AD=