黑龙江省实验中学2021届高三上学期12月月考数学（理）试题（Word版，含答案）

黑龙省实验中学2020—2021学年度上学期高三年级12月月考 理科数学试题 一、单选题（每小题5分，共计60分） 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则　　 A． B． C． D． 3．“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所持有，图一图二是北京故宫太和殿斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个长相等，宽和高分别为原长方体一半的小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是，，高为，长方体形凹槽的高为，斗的密度是.那么这个斗的质量是（ ） A． B． C． D． 5．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 6．已知m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题： 若，，则； 若，，且，则； 若，，则； 若，，且，则．其中真命题的序号是（ ） A．①④ B．①② C．③④ D．②③ 7．已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B．512 C．1024 D． 8．如图在梯形中，∥，，，，将该图形沿对角线折成图中的三棱锥，且，则此三棱锥外接球的体积为（ ）． A． B． C． D． 9．已知函数，则下列关于函数的说法中，正确的是（ ） A．周期为 B．将图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称 C．对称中心为 D．将图象向左平移个单位可得到的图象 10．已知函数，设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 11．如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．函数，关于的方程恰有四个不同实数根，则正数的取值范围为( ) A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共计20分） 13．已知，向量与的夹角为，向量，.若，则实数的值为____________. 14．函数的定义域是，则实数的值为__________________. 15．对于复数，定义映射：.若复数在映射作用下对应复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为______________. 16．定义：若向量列，满足条件：从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一个常向量（即坐标都是常数的向量），即（，且，为常向量），则称这个向量列为等差向量列，这个常向量叫做等差向量列的公差，且向量列的前项和为．已知等差向量列满足，则向量列的前项和 三、解答题（本题共6个小题，满分70分） 17．（本题满分10分）已知函数． （Ⅰ）解关于的不等式； （Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围． 18．（本题满分12分）的内角、、的对边分别为、、，已知. （1）求； （2）若，的面积为，求. 19．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过一点． （1）若，求的值； （2）若，求的单调增区间． 20．（本题满分12分）已知数列的前项和为， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列的首项，其前项和为，且满足，求数列的前项和 21．（本题满分12分）如图所示的几何体中，，四边形为正方形，四边形为梯形，，，，为中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值。 22．（本题满分12分）已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）当时，求证：； （3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 $$黑龙省实验中学2020—2021学年度上学期高三年级12月月考 理科数学试题（参考答案） 一、单选题（每小题5分，共计60分） 1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D 7．A 8．A 9．B 10．C 11．A 12．D 二、填空题（每小题5分，共计20分） 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【详解】（I）当时，不等式为：，解得，故． 当时，不等式为：，解得，故1＜x＜3， 当时，不等式为：，解得，故．综上，不等式的解集为． （II）由恒成立可得恒成立． 又，故在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为．∴，解得．即的最值范围是． 18．【答案】（1）（2） 【详解】（1）． 由正弦定理得，即，∴， ． （2）∵， 因为，所以 ，即． 19．【答案】（1）；（2）． 【详解】（1）当时，，， ； （2）当时，，， ， 令，解得：， 的单调增