专练10 几何压轴题（10题）-2020～2021学年八年级数学上学期期末考点必杀200题（人教版）

专练10 几何压轴题（10题） 1．（2020·湖北八年级期中）如图所示，已知△ABC中，∠B=∠C，AB=4厘米，BC=3厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）． (1)用含t的式子表示PC的长度是 ； (2)若点P，Q的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； (3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 【答案】（1）PC=3-t ；（2）△CPQ≌△BDP，理由见解析；（3）点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使△BPD与△CQP全等 (1)根据题意得PB=t， ∴PC=BC-BP=3-t （2）△CPQ≌△BDP，理由如下 证明：∵P、Q的运动速度相等， ∴1秒后，CQ=BP=1， CP=BC-BP=3-1=2， ∵D为AB的中点， ∴BD= ∴CP=BD， 在△CPQ和△BDP中 ∴△CPQ≌△BDP（SAS） (3)解：由(1)知，PC=3-t，BP=t，CQ=at，BD=2 ∵ ∵△BPD与△CQP全等 ①当△CPQ≌△BDP时， BP=CQ，t=at，∵t∴a=1与P、Q的运动速度不相等矛盾，故舍去． ②当△CPQ≌△BPD时， BP=CP，CQ=BD， ∴t=3-t，at=2， t= a= 即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使△BPD与△CQP全等 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2．（2020·扬州中学教育集团树人学校八年级期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）． 解：（1）如图1，在上取一点使，连接， ∵为的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （2）如图2示，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，又， ， 而， ， ， ， ； （3）如图3示，延长到，使，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）如图4示，作于，在上截取， ，， ， ， 点是外角平分线上一点，， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2020·安徽八年级月考）已知≌，． （1）将和按图①方式摆放，使经过点，延长交线段于点．试判断线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）将和按图②方式摆放，延交线段于点．请直接写出、、之间的数量关系______． （3）将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点．请直接写出线段、、之间的数量关系：______． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） （1）． 证明：如图，连接． ∵≌， ∴，． ∵在和中， ， ∴≌（HL） ∴． ∵，， ∴． （2）； 证明：如图②，连接BF， 与（1）同理，可得，， ∵，，， ∴≌（HL）， ∴， ∵，， ∴； （3）； 证明：如图③，连接BF， 与（1）同理，则有 CF=EF，AC=DE， ∴； 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行解题． 4．（2020·湖北八年级期末）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． （1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°． ①求证：AD＝BE； ②求∠AEB的度数． （2）如图2，若∠ACB＝∠DCE