专题14 图形运动中的定值问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（上海专用）

专题14 图形运动中的定值问题 模块一：与线段相关的定值问题 1、解题注意点 （1）注意分析图形运动的方式和位置，尤其是特殊位置或临界位置的情况； （2）探究两条线段的和差，通常联想到线段的等量代换，进而寻找全等三角形； （3）探究两线段长的乘积，通常联想到比例，进而寻找相似三角形． 例题1.已知在等边中，AB = 4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不 重合），点N在边BC的延长线上，且AM = CN．联结MN，交直线AC于点D．设AM = x，CD = y． （1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （2）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论． 【解析】（1）过点M作MP // AC，交BC于点P． 在等边中，∵AB = BC，MP // AC，∴PC = AM = x． 又∵AM = CN，∴PC = CN．∵MP // AC，∴∠MPB =∠ACB = 60°． 而∠B = 60°，∴∠MPB =∠B．∴MP = BM =． ∴，即（0 < x < 4）； （2）线段DE的长不会改变． （i）当点M在边AB上时，点D在边AC上． ∵∠AEM = 90°，∠A = 60°，AM = x，∴． ∴． （ii）当点M在边AB的延长线上时，点D在边AC的延长线上． 过点M作MP // AC，交直线BC于点P． ∴MP = BM = BP = ．∴CP = CN = x．∴， ∴． 又∵，∴． 综上所述，DE=2，即线段DE的长不会发生改变． 【总结】本题主要考察等边三角形背景下的定值问题，要注意进行分类讨论． 例题2.如图1，将一张已知菱形纸片ABCD沿对角线BD（EF）剪开，得到和． （1）如图2，将的顶点F固定在的边BD的中点处，绕点F在边BD上方左右旋转．设旋转时FC交BA于点H（不与点B重合）；FE交DA于点G（不与点D重合）．在旋转的过程中，的值是否变化？请说明理由． （2）如图3，的顶点F在的边BD上，由点B向点D滑动（不与点B、D重合），CF始终经过点A．过点A作AG // CE，交FE于点G，联结DG．在点F滑动的过程中，FD + DG的值如何变化？请说明理由． 【解析】（1）∵，， 又∵，∴．又∵，∴∽， ∴，即：∵，∴， ∴的值不会发生变化，总是定值． （2）∵AG // CE，∴，∴； 又∵，∴； 又∵，∴≌，∴；∴， ∴在点F滑动的过程中，的值不变，总是定值BD． 【总结】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质及全等三角形判定及性质的综合 运用，此题中注意对定值的准确理解． 例题3.如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，点B、C、G也在用一条直线上，P是线段DF的中点，联结PG、PC．若． （1）探究PG、PC的位置关系及的值． （2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2），则（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【解析】（1）延长GP交CD于H，如图3， 易证：≌，∴，． ∴，∴CP是等腰底边上的中线， ∴，∴，∴； （2）猜想：（1）中的两个结论仍然成立． 证明：如图4，延长GP交AD于H，联结CH、CG． 易证：≌，∴，． 易证：≌，∴，∴． 又∵，∴， ∴， ∴． 【总结】本题主要考查全等三角形与锐角三角比的综合运用，解题时注意运用菱形的性质． 模块二：与面积相关的定值问题 1、 解题注意点 （1）注意分析图形运动的方式及位置，尤其是特殊位置或者临界位置的情况； （2）考虑面积是否为定值时，可先考虑特殊位置或者临界位置的图形面积，同时要考 虑图形面积的应怎么表达更合适（是利用公式直接表达，还是利用割补求解，还是利用相似的性质）． 例题1.如图，在梯形ABCD中，AD // BC， E、F分别是AB、DC边的中点，AB = 4，∠B = 60°． （1）求点E到BC边的距离； （2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN // AB交线段AD于点N，联结PN．探究：当点P在线段EF上运动时，的面积是否发生变化？若不变，请求出的面积；若变化，请说明理由． 【解析】（1）过E作EG⊥BC，垂足为G， 由AB = 4，E为AB的中点，得BE = 2； 在Rt中，，； （2）不变． 在梯形ABCD中，由AD // BC，MN // AB，得MN = AB = 4， 过点P作PH⊥MN，垂足为H， 由MN // AB得==，∴=； 由E、F是AB、DC边的中点，得EF // BC，由EG⊥B