第11期 解三角形、平面向量与三角函数的综合-【数理报】2021高考数学文科一轮复习知识备查

书书书 因为ｋ为正整数，二次函数ｙ＝２ｋｔ２＋ｔ－３的对称轴 显然在ｙ轴左侧， 所以当０＜ｔ≤ １ ３ 时，二次函数为增函数，故只需 ２ (ｋ )１３ ２ ＋１ ３ －３＜０，解得０＜ｋ＜１２，ｋ∈Ｎ＋， 所以存在符合要求的正整数ｋ，且最大值为１１． 第１３期检测题参考答案 一、选择题　 １～６　ＡＢＡＣＤＤ　　７～１２　ＣＤＣＤＣＡ 提示： ４．由已知设公比为ｑ，则 ａ４ ａ１ ＝ｑ３ ＝８，解得ｑ＝２，则 数列的前５项和Ｓ５ ＝ ａ１（１－ｑ ５ ） １－ｑ ＝２（１－２ ５ ） １－２ ＝６２． ５．根据等差数列的性质： ａｎ ｂｎ ＝ Ｓ２ｎ－１ Ｔ２ｎ－１ ，得 ａ３ ｂ３ ＝ Ｓ５ Ｔ５ ＝ ２０１８×５－１ ３×５＋４ ＝５３１． ６．由题意可知ａ５，ａ６是方程ｆ′（ｘ）＝ｘ ２－６ｘ＋８＝０ 的解，故ａ５ａ６ ＝８，又因为｛ａｎ｝是各项均为正数的等比数 列，所以ａ１ａ２…ａ１０＝（ａ５ａ６） ５＝８５，则ｌｏｇ２ａ１＋ｌｏｇ２ａ２＋… ＋ｌｏｇ２ａ１０ ＝ｌｏｇ２ａ１ａ２…ａ１０ ＝ｌｏｇ２８ ５ ＝１５． ７．由ａｎ＋１－ａｎ ＝ｄ可知数列｛ａｎ｝为等差数列，由等 差数列的性质可得ａ４＋ａ１２－ａ８ ＝２ａ８－ａ８ ＝ａ８ ＝８，Ｓ５ ＝ ５ ２ （ａ１＋ａ５）＝ ５ ２ ×２ａ３ ＝５ａ３ ＝１５，即ａ３ ＝３，则数 列的公差ｄ＝ ａ８－ａ３ ８－３ ＝１，首项ａ１ ＝ａ３－２ｄ＝３－２＝ １，Ｓ２０ ＝２０×１＋ ２０×１９ ２ ×１＝２１０． ８．因为函数ｆ（ｘ）＝ｘα的图象过点（４，２），所以４α ＝ ２，解 得 α ＝ １ ２ ，所 以 ｆ（ｘ） 槡＝ ｘ，所 以 ａｎ ＝ １ ｆ（ｎ＋１）＋ｆ（ｎ） ＝ １ ｎ＋槡 １ 槡＋ ｎ ＝ ｎ＋槡 １ 槡－ ｎ， 所以Ｓ２０１６ ＝槡２－１＋槡３－槡２＋槡４－槡３＋… ＋ 槡２０１７－槡２０１６＝槡２０１７－１． ９．在等差数列｛ａｎ｝中，由ａ６＋ａ８＝－６得２ａ７＝－６， ａ７ ＝－３，又ａ２ ＝７，所以ｄ＝ ａ７－ａ２ ７－２ ＝－３－７ ５ ＝－２， 所以ａｎ ＝ａ２＋（ｎ－２）ｄ＝７－２（ｎ－２）＝１１－２ｎ．由ａｎ ＝１１－２ｎ＞０，得ｎ＜１１ ２ ，因为ｎ∈Ｎ＋，所以Ｓｎ取最大 值时，ｎ的值为５． １０．设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要 移动的次数记为 Ｐ（ｎ），则把起始柱上的（除最底下的） 圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为 Ｐ（ｎ－１），则有Ｐ（ｎ）＝２Ｐ（ｎ－１）＋１，则有Ｐ（ｎ）＋１＝ ２［Ｐ（ｎ－１）＋１］，又Ｐ（１）＝１，即｛Ｐ（ｎ）＋１｝是Ｐ（１）＋ １＝２为首项，２为公比的等比数列，由等比数列的通项公 式可得Ｐ（ｎ）＋１＝２ｎ，所以Ｐ（ｎ）＝２ｎ－１，即Ｐ（４）＝ ２４－１＝１５． １１．因为ａ２ａ６ ＝４，且等比数列｛ａｎ｝各项均为正数， 所以ａ２４ ＝４，ａ４ ＝２，公比ｑ＝ ａ４ ａ３ ＝２，首项ａ１ ＝ １ ４ ，所以 ａｎ ＝ａ１ｑ ｎ－１ ＝２ ｎ－１ ４ ，Ｓｎ ＝ ａ１（１－ｑ ｎ ） １－ｑ ＝２ ｎ－１ ４ ，所以 Ｓｎ＋( )９４ ２ ２ａｎ ＝２ ｎ ４ ＋１６ ２ｎ ＋４≥２ ２ｎ ４ · １６ ２槡 ｎ ＋４＝８，当且 仅当 ２ｎ ４ ＝１６ ２ｎ ，所以 ｎ＝３时取等号，所以当 ｎ＝３时， Ｓｎ＋( )９４ ２ ２ａｎ 的最小值为８． １２．因为等差数列｛ａｎ｝的公差ｄ≠０，ａ２，ａ３，ａ６成等 比数列，且ａ４ ＝－５，所以（ａ１ ＋２ｄ） ２ ＝（ａ１ ＋ｄ）（ａ１ ＋ ５ｄ），ａ４ ＝ａ１＋３ｄ＝－５，解得ｄ＝－２，ａ１ ＝１，所以Ｓｎ ＝ ｎ＋ｎ（ｎ－１） ２ ×（－２）＝－ｎ２＋２ｎ，则 Ｓｎ ２ｎ ＝－ｎ ２＋２ｎ ２ｎ ，令 Ｓｎ＋１ ２ｎ＋１ ≥ Ｓｎ ２ｎ 且 Ｓｎ－１ ２ｎ－１ ≥ Ｓｎ ２ｎ ，解得２＋槡３≤ｎ≤３＋槡３，即ｎ＝ ４时， Ｓｎ ２ｎ 取得最小值，且 Ｓ４ ２４ ＝－１ ２ ． 二、填空题 １３．１５；　１４．８１；　１５．－１ ９０ ；　１６．２－２ｎ－１． 提示： １３． 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ｄ， 则 ａ１＋２ｄ＋５ａ１＋１０ｄ＝１８， ａ１＋４ｄ＝７ { ， 故 ａ１ ＝－１， ｄ＝２{ ， 所以ａｎ＝２ｎ－ ３，又ａ２６ ＝ａ３ａｍ，故９ ２ ＝３（２ｍ－３），所以２ｍ－３＝２７，即 ｍ＝１５． １４．由等比数列性质可知Ｓ３，Ｓ６－Ｓ３，Ｓ９－Ｓ６成等比 数列，设公比为ｑ，则由题意得Ｓ６－Ｓ３ ＝３６－９＝２７，ｑ＝ ２７ ９ ＝３，所以ａ７＋ａ８＋ａ９ ＝Ｓ９－Ｓ６ ＝２７×３＝８１． １５．根据题意，数列｛ａｎ｝满足 ＳｎＳｎ＋１ ＝－ａｎ＋１，即 ＳｎＳｎ＋１ ＝Ｓｎ－Ｓｎ＋１，变形可得 １ Ｓｎ＋１ －１ Ｓ