专题16 二次函数的存在性问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（全国通用）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题16二次函数的存在性问题 【考点1】二次函数与相似三角形问题 【例1】（2020·湖北随州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴为直线 ，其图象与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ． （1）直接写出抛物线的解析式和 的度数； （2）动点 ， 同时从 点出发，点 以每秒3个单位的速度在线段 上运动，点 以每秒 个单位的速度在线段 上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 秒，连接 ，再将线段 绕点 顺时针旋转 ，设点 落在点 的位置，若点 恰好落在抛物线上，求 的值及此时点 的坐标； （3）在（2）的条件下，设 为抛物线上一动点， 为 轴上一动点，当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，请直接写出点 及其对应的点 的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分） 【变式1-1】（2019·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C，且过点 ．点P、Q是抛物线 上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线OD下方时，求 面积的最大值． (3)直线OQ与线段BC相交于点E，当 与 相似时，求点Q的坐标． 【变式1-2】（2019·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）． （1）求抛物线的解析式． （2）若△AOC与△FEB相似，求a的值． （3）当PH＝2时，求点P的坐标． 【考点2】二次函数与直角三角形问题 【例2】（2020·湖北咸宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线 过点B且与直线相交于另一点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上的一动点，当 时，求点P的坐标； （3）点 在x轴的正半轴上，点 是y轴正半轴上的一动点，且满足 ． ①求m与n之间的函数关系式； ②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？ 【变式2-1】如图，抛物线 经过A（－3，6），B（5，－4）两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． （1）求抛物线的表达式； （2）求证：AB平分 ； （3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使得 是以AB为直角边的直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2-2】（2019·甘肃兰州·中考真题）二次函数 的图象交 轴于 两点，交 轴于点 .动点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 方向运动，过点 作 轴交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接 .设运动的时间为 秒. (1)求二次函数 的表达式: (2)连接 ，当 时，求 的面积: (3)在直线 上存在一点 ，当 是以 为直角的等腰直角三角形时，求此时点 的坐标; (4)当 时，在直线 上存在一点 ，使得 ，求点 的坐标 【考点3】二次函数与等腰三角形问题 【例3】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0 m 3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值． 【变式3-1】（2020·贵州黔东南·中考真题）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）． （1）求抛物线的解析式． （2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标． （3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（2019·四川眉山·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 和点 ． (1)求抛物线的解析式及顶点 的坐标； (2)点 是抛物线上 、 之间的一点，过点 作 轴于点 ， 轴，交抛物线于点 ，过点 作 轴于点 ，当矩形 的周长最大时，求点 的横坐标； (3)如图2，连接 、 ，点 在线段 上(不与 、 重合)，作 ， 交线段 于点 ，是