专题17 二次函数的面积问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（全国通用）

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题17二次函数的面积问题 【考点1】二次函数的线段最值问题 【例1】（2020·湖北荆门·中考真题）如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B． （1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标； （2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 轴，垂足为C， 交 于点D，求 的最大值，并求出此时点P的坐标； （3）如图2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线 交于M，N两点，若点A是线段 的中点，求抛物线 的解析式． 【变式1-1】（2020·前郭尔罗斯蒙古族自治县哈拉毛都镇蒙古族中学九年级期中）如图，二次函数 的图象交x轴于点 ， ，交y轴于点C．点 是x轴上的一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N． （1）求这个二次函数的表达式； （2）①若点P仅在线段 上运动，如图1．求线段 的最大值； ②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图1，已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点B（3，﹣3）． （1）求顶点A的坐标 （2）若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求△OPB的面积的最大值及比时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点2】二次函数的面积定值问题 【例2】已知二次函数 ． （1）图象经过点 时，则 _________； （2）当 时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围； （3）以抛物线 的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形 （M，N两点在抛物线上），请问： 的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-1】（2020·湖南九年级其他模拟）若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”． （1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值； （2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣ 的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-2】（2020·山东济南·中考真题）如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A（﹣1，0），点B（3，0）与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0 m 3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M． （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标； （3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值． 【考点3】二次函数的面积最值问题 【例3】（2020·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（ ，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为 ，四边形BDEF为平行四边形． （1）求点F的坐标及抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值； （3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标． 【变式3-1】（2020·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线AB相交于A，B两点，其中 ， ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求 面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（2020·江苏宿迁·中考真题）二次函数 的图象与x轴交于A(2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C