专练08（等腰三角形的判定和性质，10道）-2020～2021学年上学期八年级期末考点必杀200题（浙教版）

专练08（等腰三角形的判定和性质（10道） 1．（2019春•虹口区期末）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，CD与BE交于点O，且满足BD＝CE，∠1＝∠2．试说明△ABC是等腰三角形的理由． 【思路点拨】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【解析】解：∵BD＝CE，∠1＝∠2，∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴∠DBO＝∠ECO，OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠DBO+∠OBC＝∠ECO+∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BCE≌△CBD是解题的关键． 2．（2019秋•汤阴县期中）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于E、F． （1）如图1，图中所有的等腰三角形有　　个．猜想：EF与BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由． （2）如图2，AB≠AC，图中等腰三角形是　　，（1）中的EF与BE、CF之间的关系还存在吗？ （3）如图3，△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F．图中还有等腰三角形吗？如果有，分别指出它们，写出EF与BE、CF关系，并说明理由． 【思路点拨】（1）由AB＝AC，可得∠ABC＝∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO＝∠OBC＝∠FCO＝∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠FCO＝∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO＝BE，OF＝FC，则EF＝BE+FC． （2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB＝AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF＝BE+FC的结论仍成立． （3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF＝BE﹣FC． 【解析】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个； EF、BE、FC的关系是EF＝BE+FC． 理由如下： ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO， 即EO＝EB，FO＝FC， ∴EF＝EO+OF＝BE+CF； 故答案为：5； （2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立， ∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB， ∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB， ∵EF∥BC， ∴∠EOB＝∠OBC＝∠EBO，∠FOC＝∠OCB＝∠FCO， 即EO＝EB，FO＝FC， ∴EF＝EO+OF＝BE+CF； 故答案为：△EOB、△FOC； （3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF＝BE﹣FC．理由如下： 同（1）可证得△EOB是等腰三角形； ∵EO∥BC， ∴∠FOC＝∠OCG； ∵OC平分∠ACG， ∴∠ACO＝∠FOC＝∠OCG， ∴FO＝FC，故△FOC是等腰三角形； ∴EF＝EO﹣FO＝BE﹣FC． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 3. （2020春•张家港市校级期中）等腰三角形ABC中，一腰AC上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求此三角形的腰和底边的长． 【思路点拨】分腰长与腰长的一半是12cm和15cm两种情况，求出腰长，再求出底边，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边进行判断即可． 【解析】解：设腰长为xcm， ①腰长与腰长的一半是12cm时，x+x＝12， 解得x＝8， 所以，底边＝15﹣8＝11， 所以8cm、8cm、11cm能组成三角形； ②腰长与腰长的一半是15cm时，x+x＝15， 解得x＝10， 所以，底边＝12﹣×10＝7， 所以，三角形的三边为10cm、10cm、7cm，能组成三角形， 综上所述，此三角形的腰和底边的长分别为8cm、11cm或10cm、7cm． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系判定是否能组成三角形． 4. （2020秋•鹿城区校级月考）如图，AB＝AC＝AD，且AD∥BC，∠BAC＝20°，求∠D的度数． 【思路点拨】根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠D，根据平行线的性质得出∠DBC＝∠D，求出∠C＝2∠D，求出∠C即可