3.4.1曲线与方程-北师大版高中数学选修2-1课件

3.4.1曲线和方程 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科. 问题1：解析几何与坐标法. 问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质. 【例1】设A,B两点的坐标分别是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程. 解析：设点M(x,y)是线段AB的垂直平分 线上的任意一点，也就是点M属于集合 由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为 上式两边平方，并整理得 x+2y－7=0. ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①的解； （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0, x1=7－2y1. 点M1到A，B的距离分别是 即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 由上述例子可以看出，求曲线的方程，一般有下面几个步骤： (1)建系设动点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示所求曲线上任意一点M的坐标；（求谁设谁） (2)列几何条件:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}; (3)坐标代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程. (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 【例2】已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程. 分析：在建立坐标系时，一般应当充分 利用已知条件中的定点、定直线等， 这样可以使问题中的几何特征得到更好的表示，从而使曲线方程的形式简单一些. 学习目标： 曲线和方程的概念、意义及曲线和方程的两个基本问题. 重点和难点：