3.4.1 曲线与方程（课件+作业）-2019-2020学年高中数学选修2-1【优化探究】同步导学案(北师大版)

§4　曲线与方程 4．1　曲线与方程 授课提示：对应学生用书第46页 一、方程的曲线与曲线的方程的意义 一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系： 1．曲线上点的坐标都是这个方程的解； 2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线． 二、求曲线方程(直接法)的一般步骤 1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； 2．写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}； 3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； 4．化方程f(x，y)＝0为最简形式； 5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程． [疑难提示] 　对曲线与方程的理解 曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制． [想一想] 1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？ 提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0. [练一练] 2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是(　　) A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上 B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0 C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上 D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0 解析：“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A、C错．B显然错． 答案：D 授课提示：对应学生用书第47页 探究一　曲线与方程的概念 [典例1]　已知方程x2＋(y－1)2＝10. (1)判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点M(，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值． [解析]　(1)∵12＋(－2－1)2＝10，()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， 点Q(，3)不在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上． (2)∵点M(，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴x＝，y＝－m适合上述方程，即()2＋(－m－1)2＝10，化简整理得5m2＋8m－36＝0，解得m＝2或m＝－， ∴m的值为2或－. “曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 也就是说，曲线C是一个点集，以方程f(x，y)＝0的实数解为坐标的点的集合F＝{(x，y)|f(x，y)＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C⊆F；(2)F⊆C. 由两个集合相等的概念知C＝F.所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准． 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由． (1)曲线C：过点A(2,0)且平行于y轴的直线；方程f(x，y)＝0：|x|＝2. (2)曲线C：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f(x，y)＝0：xy＝1.[来源:学.科.网] 解析：(1)过点A(2,0)且平行于y轴的直线上的点的坐标x＝2都是方程|x|＝2的解；而以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C的方程为x＝2，方程|x|＝2表示两条直线． (2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy＝1的解为坐标的点都在曲线C上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C的方程为xy＝±1，方程xy＝1表示位于一、三象限的双曲线． 2．(1)判断点A(－4,3)，B(－3，－4)，C(，2)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上； (2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点M(m，)与点N在曲线C上，求m，n的值． 解析：(1)把点A(－4,