专题10 异面直线问题高考真题-2021年高考数学（理）立体几何中必考知识专练

专题10：异面直线问题高考真题（解析版） 一、单选题 1．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II） 在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ,所以 , 因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 2．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，补成直四棱柱 ， 则所求角为 ， 易得 ，因此 ，故选C． 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围． 3．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 试题分析：如图，设平面 平面=，平面 平面=，因为平面，所以，则所成的角等于所成的角.延长，过作，连接，则为，同理为，而，则所成的角即为所成的角，即为，故所成角的正弦值为，选A. 【考点】平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补. 4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） 直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线 为 轴，则设CA=CB=1，则 ， ，A（1，0，0）， ，故 ， ，所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，故选C. 考点：本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力. 5．2018年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II） 在正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用正方体 中， ，将问题转化为求共面直线 与 所成角的正切值，在 中进行计算即可. 【详解】 在正方体 中， ，所以异面直线 与 所成角为 ， 设正方体边长为 ，则由 为棱 的中点，可得 ，所以 ， 则 .故选C. 【点睛】 求异面直线所成角主要有以下两种方法： （1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角； （2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值. 二、解答题 6．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC． （1）证明：平面AEC⊥平面AFC； （2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值. 试题解析：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=